Untergruppe der ganzen Zahlen

28.12.2008, 17:23

lilithilli1210

Untergruppe der ganzen Zahlen

a) Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl. Zeigen Sie, daß die Mengen $\begin{eqnarray*} n \mathbb Z := \lbrace nk \vert k \in \mathbb Z \rbrace \end{eqnarray*}$ aller Vielfache von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.
Wann sind zwei Untergruppen von diesem Typ gleich?

b) Zeigen Sie, daß jede Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb Z \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} U=n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_\text{0} \end{eqnarray*}$ ist.

soweit so gut =)
bei a) ist mir klar, dass es eine Untergruppe ist, nur nich genau wie ich das jez wieder zeige. Bedeuten tut es ja soviel dass, alle Mengen eine Untergruppe sind, also zum Beispiel auch die Menge $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder?
da ja k auch aus Z ist, sind die Mengen einfach immer alle Vielfachen von n.
also bei 2 dann etwa so : (....,-4,-2,0,2,4,6,8,10,....) oder?

also enthalten alle schon mal e(das Neutralelement "0" oder??)(1 kann es ja nich sein)
für a,b aus U ist auch a*b aus U (oder?)
inverse müssten ja einfach immer die negativen dazu sein, also z.b 2 und -2, 6 und -6.

damit wäre es ne untergruppe oder? oder fehlt noch was?

die letzte frage von a) verstehe ich nicht, welche Untergruppen dieses types?bzw. wie sollen die gleich sein?, dachte ja erst an vielfache, also z.b n=2 und n=4, aber die sind ja nich gleich.

bei b)

klar ist mir das wieder =) nur das zeigen fällt mir wieder eher schwer...

also: hatte erst an Lagrange gedacht, dass man da vllt was mit anfangen kann, aber leider ist ja Z nicht endlich.

also hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz.. unglücklich

wäre für Hilfe und Tipps sehr dankbar smile

LG Lili

28.12.2008, 18:00

tigerbine

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RE: Untergruppe der ganzen Zahlen
Bilden denn die ganzen Zahlen eine Gruppe? Bzgl. welcher Veknüpfung?

Wie lauten die Untergruppenaxiome?

28.12.2008, 19:39

lilithilli1210

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Z ist eine Gruppe mit der Verknüpfung +

Untergruppenaxiome lauten sinngemäß:
H ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn H die folgenden Bedingungen erfüllt:
(1) H ist nicht die leere Menge.
(2) sind a ,b aus H, so ist a*b in H (Abgeschlossenheit)
(3) liegt a in H, so liegt auch sein Inverses a^-1 in H.
richtig?

nZ ist nicht die leere Menge, sie enthält mind. die 0 wenn n=0
a*b liegt in nZ, da es immer wieder vielfache von n sind.
es gibt immer ein inverses zu einem a aus nZ, nämlich -a.

richtig?

trotzdem kann ich den rest nicht beantworten, tipps dazu wären sehr nett=)

LG Lili

28.12.2008, 19:45

tigerbine

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Ja, Gruppe bzgl. "+". Was sollte man sich also als ERSTES fragen, wenn man die Untergruppe anschaut? Was ist denn nk?

Axiome richtig, aber falsch überprüft.

29.12.2008, 11:49

lilithilli1210

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ja nk ist ein produkt aus zwei zahlen, die beide aus Z sind, wobei n immer gleich ist und k sozusagen variabel bei den einzelnen mengen.
die untergruppe überprüft man also auch auf "+"

also überprüft man a+b, für ein a,b aus nZ

die anderen beiden axiome habe ich meiner meinung nach richtig überprüft.
die menge enthält mind. das neutralelement (0), somit is sie nich leer.

und es gibt immer ein add.inverses, nämlich -a. (z.b.: 2,-2)

kann mir vllt jemand noch tipps zu den anderen fragen der aufgaben geben. vor allem zu der zweiten frage in a) wann zwei dieser untergruppen gleich sind?
ist das bei n und -n so?
also z.b.: 3Z und -3Z oder 5Z und -5Z ???wie schreibt man das formal?

zu b) hab ich mir folgendes überlegt:

Es sei U eine Untergruppe von Z.
wenn U keine ganze Zahl enthält, dann ist U={0}=0Z.
Wenn U eine ganze positive Zahl enthält, wählt man eine als kleinste aus.
n ist die kleinste (positive) Zahl in U.
Nun gibt es ein x aus U.
zu zeigen: x=nk für ein k aus Z
Man dividiert x mit Rest durch n:
x = nk+r, mit k,r aus Z
0 kleiner gleich r kleiner n.
Weil r=x-nk in U liegt, wäre 0<r<n ein Widerspruch zur Wahl von m als kleinstem positiven Element von U,
somit ist r=0 und x=nk.

Damit ist jede Untergruppe von der Form U=nZ für ein n aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

29.12.2008, 11:58

tigerbine

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Du merkst nicht, wie du dir selbst widersprichst. Würde es sich nicht um die dir seit frühester Zeit bekannten Zahlen handeln, sehe das anders aus. In der Gruppe (Z,+) ist eine Multiplikation nicht definiert. Ist ja auch logisch, man verknüpft ja mit "+". Wie also soll nk definiert werden? Das ist zwar nicht schwer, muss aber getan werden. Und mit dieser Definition musst du dann die Untergruppenaxiome prüfen.

Du hast nur wiedergegeben, das (Z,+) eine Gruppe ist. Aber nicht speziell für die ausgewählten Untergruppen. Und Beispiele sind da keine Lösung. Es ist Formalismus, ja. Aber sonst könnte man sich die Überprüfung auch schenken.

29.12.2008, 12:14

lilithilli1210

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häh, das versteh ich nicht.
klar gibt es bei der gruppe Z nur +, aber die menge nZ hat ja nix damit zu tun, da kann es doch multiplikation geben.
und diese Menge soll dann eine Untergruppe sein.
ich versteh mein fehler leider nicht.

die menge nZ hat doch erstmal nix mit der Gruppe Z zu tun...

Diese Menge von Produkten soll doch lediglich dann als Untergruppe überprüft werden.
dann natürlich mit der verknüpfung + zwischen den einzelnen produkten....

Oder soll nk, n+k beudeuten?
das macht aber für mich irgendwie keinen sinn...
dann wäre diese menge ja gleich Z, weil man einfach eine Zahl nimmt und zu ihr jeweils alle zahlen aus Z addiert( auch-1,-2,-3).

Beispiele schreib ich nur hin um meine gedanken zu verdeutlichen. die will ich ja nicht als lösung angeben, nur hier anbringen, damit ihr nachvollziehen könnt, wie ich mir das vorstelle...

was ist mit meiner überlegung zu b), ist die auch komplett falsch gedacht?
bzw. fehlt da was, stimmt da was nich?

LG Lili smile

29.12.2008, 12:18

tigerbine

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Zitat:

Original von lilithilli1210
häh, das versteh ich nicht.
klar gibt es bei der gruppe Z nur +, aber die menge nZ hat ja nix damit zu tun, da kann es doch multiplikation geben.
und diese Menge soll dann eine Untergruppe sein.
ich versteh mein fehler leider nicht.

Als UNTERGruppe gibt es dort natürlich auch nur die Verknüpfung, die es in der GRUPPE gibt. Der Schlüssel liegt eben darin, wie man die Multiplikation konform mit der Addition definieren kann. So schwer ist das ja nicht. Man muss es aber machen. Wenn ihr das nicht vorab gemacht habt, dann ist die Vorgabe der Untergruppe in der Aufgabe unsauber.

Wie gesagt, Z kennt man halt und da wird öfter lax formuliert. Aber das ist kein Grund dafür, auch so zu arbeiten.

29.12.2008, 12:51

lilithilli1210

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leider wird mir das immer noch nicht ganz klar.
und es verwirrt mich nur immer mehr.

kannst du mir nich einen tipp geben, wie ich an die aufgabe dann richtig rangehen kann? Ich komme so nämlich kein Schritt weiter.
wie soll ich denn die multipilkation definieren, und warum?

(definieren kann man es doch so...: n+n+n+n+n+....+n+n(k-mal die addition)= n*k)

und was ist mit der b)

da habe ich ja auch multiplikation benutzt.

ein Hinweis zu der Aufgabe war auch: Division mit Rest, deswegen hab ich mir das so überlegt. oder muss ich da dann auch erst irgendwas definieren?

LG smile

29.12.2008, 13:41

tigerbine

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Zitat:

Original von lilithilli1210
definieren kann man es doch so...: n+n+n+n+n+....+n+n(k-mal die addition)= n*k)

Dann mach das doch auch. Augenzwinkern

Man betrachtet die additive Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ und definiert für 2 Elemente $\begin{eqnarray*} n,k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} nk:=\begin{cases} \underbrace{n+...+n}_{\text{k-mal}} = \sum_{i=1}^k~n & k>0 \\ 0 & k=0 \\ \underbrace{(-n)+...+(-n)}_{\text{k-mal}} = \sum_{i=1}^k~(-n) & k<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns Teilmengen von Z an, die wie folgt definiert sind für

$\begin{eqnarray*} n \mathbb Z :=\lbrace nk ~\vert~& n,k \in \mathbb Z \rbrace \end{eqnarray*}$

Die Menge Z ist nicht leer und so finden wir zum Beispiel für k=0:

$\begin{eqnarray*} 0 \in n\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Nun betrachten wir zwei Elemente $\begin{eqnarray*} k_1n,~k_2n \in n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Liegt dann auch deren Summe in nZ? Mit den Rechenregeln der Addition in Z folgt dann:

$\begin{eqnarray*} k_1n + k_2n = \sum_{i=1}^{k_1}~n + \sum_{j=1}^{k_2}~n = \sum_{i=1}^{k_1+k_2}~n = \underbrace{(k_1+k_2)}_{:=k_3 \in \mathbb Z}n =k_3n \end{eqnarray*}$
Nun noch nach der Frage nach dem Inversen. Wir geben eins an, und benutzen, dass k aus der Gruppe stammt, also ein Inverses besitzt.

$\begin{eqnarray*} kn + (-k)n= \sum_{i=1}^{k}~n + \sum_{i=1}^{k}~(-n) = \sum_{i=1}^{k}n+(-n) = 0 \end{eqnarray*}$

02.01.2009, 21:32

lilithilli1210

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nochma zu meinen anderen fragen zu der aufgabe:

Wann sind zwei Untergruppen von diesem Typ gleich? gilt das für n, -n ???

wie siehts aus mit meinem beweis zu b) ???

LG Lili

02.01.2009, 22:11

kiste

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Ja für -n bzw. n.

Dein Beweis für die b) ist bis auf kleinere Formulierungsfehler in Ordnung. Diese suchst du aber am besten einmal selbst.

02.01.2009, 22:15

lilithilli1210

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ok danke, ich werde noch mal formal alles überarbeiten und dann einstellen.
danke schonmal

LG Lili

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