Konjugation - Gruppen

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29.12.2008, 12:05	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugation - Gruppen Hallo, da bin ich auch mal wieder. und mal wieder mit einem problem. Gruppen sind einfach nicht mein Ding und vorallem nicht diese Homo und Isomorphismen. Mir fehlt mal wieder jeglicher Ansatz weil ich nicht weiß wie ich die Gruppenhomomorphismuskriterien anweden soll. Kann mir jemand erstmal erklären, was eine Konjugation ist. Ich find da leider nichts, was ich so richtig verstehe, also entweder bin ich zu blöd oder ich guck auf den falschen Seiten... Hier erstmal die Aufgabe: Sei G eine Gruppe. Für jedes Element h aus G definieren wir die Konjugationsabbildung $\begin{eqnarray} \varphi_h: G \longrightarrow G, g \longrightarrow hgh^{-1} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: 1) Für jedes h aus G ist $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus. 2) Für alle h, h' aus G gilt $\begin{eqnarray} \varphi_h \cdot \varphi_{h'} = \varphi_{hh'} \end{eqnarray}$ 3) Für jedes h aus G ist $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus und es gilt: $\begin{eqnarray} (\varphi_h)^{-1}=\varphi_{h^{-1}} \end{eqnarray}$ Hoffe jemand hilft mir Ganz liebe Grüße Luisa
29.12.2008, 12:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis zu dieser Aufgabe hättest du gar nicht zu wissen brauchen, was Konjugation bedeutet. Denn in dieser Aufgabe wird es ja festgelegt: "... definieren wir die Konjugationsabbildung ..." Einfach akzeptieren! Das Ding heißt so. Und jetzt weise 1) nach: $\begin{eqnarray} \varphi_h(g_1 g_2) = \varphi_h(g_1) \varphi_h(g_2) \end{eqnarray}$ Am besten beginnst du mit der rechten Seite und verwendest gleich die Definition von $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ . Bei 2) bedeutet der Malpunkt auf der linken Seite das Verketten von Abbildungen.
29.12.2008, 13:07	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
1) $\begin{eqnarray} \varphi _h(g_1) \varphi_h(g_2) = hg_1h^{-1} hg_2h^{-1} \end{eqnarray}$ da ja $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h^{-1} \end{eqnarray}$ sich kürzen kann man schreiben: $\begin{eqnarray} hg_1g_2h^{-1}= \varphi_h(g_1g_2) \end{eqnarray}$ oder? 2) Verketten heißt hintereinander ausführen, richtig? also erst $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \varphi_{h'} \end{eqnarray}$ aber wie wende ich das konkret an? und ist die Reihenfolge wichtig? also welche Abbildung ich erst mache? LG Luisa
29.12.2008, 13:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varrho \cdot \sigma = \varrho \circ \sigma \end{eqnarray}$ , angewandt auf ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (\varrho \circ \sigma)(g) = \varrho \left( \sigma(g) \right) \end{eqnarray}$
29.12.2008, 13:34	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ok ^^ also in etwa so: $\begin{eqnarray} (\varphi_{h'} \circ \varphi_h)(g) = \varphi_{h'}(\varphi_h(g)) = \varphi_{h'}(hgh^{-1}) = ? \end{eqnarray}$ aber weiter komm ich damit leider nich^^ weil ja $\begin{eqnarray} \varphi_{h'} \end{eqnarray}$ nicht definiert ist oder? war das zu 1) denn eigentlich so richtig? Liebe Grüße Luisa
29.12.2008, 13:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1) war richtig. Und wieso sollte $\begin{eqnarray} \varphi_{h'} \end{eqnarray}$ nicht definiert sein? Die Definition steht ja in der Aufgabe und wurde von dir auch bereits mehrfach angewandt.
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29.12.2008, 13:46	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
aber es ist doch $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ defniert. Ist das das gleich oder wie? muss man dann einfach $\begin{eqnarray} g \longrightarrow h'gh'^{-1} \end{eqnarray}$ nehmen? dann wäre es ja: $\begin{eqnarray} \varphi_{h'}(hgh^{-1})=h'hgh^{-1}h'^{-1} \end{eqnarray}$ oder? oder behandelt man das dann anders, habe jez sozusagen das $\begin{eqnarray} hgh^{-1} \end{eqnarray}$ als "g" genommen. stimmt das so? das wäre ja dann $\begin{eqnarray} \varphi_{hh'} \end{eqnarray}$ oder?? LG Luisa
29.12.2008, 13:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so macht man das. Den letzten Schritt solltest du aber noch genauer erläutern. Unterscheide auch zwischen $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Wann gilt für zwei Abbildungen $\begin{eqnarray} f=g \end{eqnarray}$ ?
29.12.2008, 14:08	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} \varphi_{h'h}(g) \end{eqnarray}$ und da man ja irgendein g gewälht hat gilt das allgemein $\begin{eqnarray} \varphi_{h'h} \end{eqnarray}$ oder? wann f=g gilt, weiß ich ehrlich gesagt nicht^^ meiner meinung nach wenn sie halt gleich sind, aber irgendwie versteh ich den zusammenhang grad nich^^ LG Luisa
29.12.2008, 14:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, zwei Funktionen sind gleich, wenn sie 1. in Definitions- und Bildmenge übereinstimmen 2. für alle Eingaben die jeweils selben Ausgaben liefern Wenn du also gezeigt hast: $\begin{eqnarray} \left( \varphi_h \circ \varphi_{h'} \right)(g) = \varphi_{hh'}(g) \ \ \mbox{für alle (!)} \ \ g \in G \end{eqnarray}$ dann darfst du auf $\begin{eqnarray} \varphi_h \circ \varphi_{h'} = \varphi_{hh'} \end{eqnarray}$ schließen. Irgendwie hast du das ja auch gezeigt, du bist aber mehr ins richtige Ergebnis gestolpert als daß du klar zum Ausdruck gebracht hättest, daß dir bewußt ist, wo du gerade bist und welches der nächste Schritt ist. Der letzte Schritt deiner Rechnung ist mir übrigens immer noch nicht ganz klar. Könntest du einmal alles bei 2) so aufschreiben, wie du es als Lösung einmal abgeben willst (bitte mit allem!)?
29.12.2008, 14:36	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich probiers mal =) also man hat h, h' aus G. es gilt: $\begin{eqnarray} \varphi_h \circ \varphi_{h'}= \varphi_{hh'} \end{eqnarray}$ man überprüft dies anhand eines g aus G: $\begin{eqnarray} (\varphi_h \circ \varphi_{h'})(g) = \varphi_h( \varphi_{h'}(g)) = \varphi_h(h'gh'^{-1}) \end{eqnarray}$ wobei das in der Klammer dann die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi_{h'} \end{eqnarray}$ ist von g. dann nehme ich das in der Klammer sozusagen als neues g, bzw als Teil des ich jez auf $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ abbilde: $\begin{eqnarray} =hh'gh'^{-1}h^{-1}= \varphi_{hh'}(g) \end{eqnarray}$ so würde ich das hinschreiben. oder sollte man da noch was mit induktion machen, damit es für alle g gilt. ich meine ich nehme ja ein beliebiges g aus G, also gilt es ja so schon für alle g, oder?? LG Luisa
29.12.2008, 14:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
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29.12.2008, 15:57	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
welcher schritt fehlt denn =) für mich gibt das so weit sinn=) lg
29.12.2008, 16:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für fortgeschrittene Gruppentheoretiker natürlich eine Trivialität - und für Anfänger? $\begin{eqnarray} b^{-1} a^{-1} = \left( ab \right)^{-1} \end{eqnarray}$ Reihenfolge beachten!
29.12.2008, 17:14	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ok verstanden =) danke zwar bin ich anfänger, aber irgendwie schien mir das auch so klar, dass ich es nich hingeschrieben hab, bzw ich wusste nich dass man das hinschreiben muss. aber besser ist es wohl. danke also so: $\begin{eqnarray} =hh'gh'^{-1}h^{-1}=(hh')g(hh')^{-1}= \varphi_{hh'}(g) \end{eqnarray}$ kannst du mir noch nen ansatz zu 3) verraten =) LG
29.12.2008, 18:06	tobsennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Was musst du denn zeigen um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray} \varphi_h \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist? Der Aufgabenteil 2 könnte auf jeden Falll eine große Hilfe sein
02.01.2009, 21:50	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
also dass es ein isomorphismus ist muss man nachweisen: homomorphismus + bijektiv ? so kenne ich es jedenfalls von ringen... also da ich ja schon gezeigt habe dass es ein homomorphismus ist(1), dann fehlt nur noch die bijektivität. bijektiv heißt surjektiv und injektiv, also es gibt immer ein urbild(für alle y aus Y existiert ein x aus X mit f(x)=y) und es gehen nie zwei x auf das gleiche y(für alle x, x' aus X folgt aus f(x)=f(x') dass x=x' ) nur wie wende ich das jetzt an verstehe nichz wie ich da was aus 2) ziehen soll... LG Luisa
02.01.2009, 22:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du dass $\begin{eqnarray} f: G\to G \end{eqnarray}$ bijektiv ist wenn $\begin{eqnarray} g: G\to G \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} f\circ g = g\circ f = \mathrm{id}_G \end{eqnarray}$ ? Wenn ja kannst du wie bereits gesagt wurde Teil 2 benutzen
03.01.2009, 12:16	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
nein das weiß ich nicht, wir hatten bijektiv nur so, wie ich es oben geschrieben hab... naja ich werde mal versuchen das anzuwenden... weiß noch nich genau wie ich das machen soll, aber einen versuch ist es ja wert^^ LG Luisa
03.01.2009, 14:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein wenn du das nicht kennst rechne einfach so durch. Ist nahezu genauso schnell bloß halt nicht so elegant . Benutze für injektiv dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist wenn der Kern nur das neutrale Element enthält

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