lineare Abbildung

29.12.2008, 12:27

Felix

lineare Abbildung

Hallo ich sitzte hier bei einer Aufgabe die ich noch nicht ganz durchschaut habe ... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A : E -> F \end{eqnarray*}$ sei eine lineare Abbildung. Ich soll zeigen ,dass

A genau dann injektiv ist wenn aus Af = 0 stets f = 0 folgt. 0 bedeuted hierbei immer das Nullelement des jeweiligen lineren Raums ...

Jetzt muss ich alsol zeigen das der Injektivität besagte Eigenschaft folgt und umgekehrt.

Für die eine Richtung könnte ich zum Beispiel zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1}0 = 0 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings tue ich mir dabei schwer ohne gebrauch von den Eigenschaften einer linearen Abbildung zu machen und hier weiß ich ja nicht ob A^-1 eine lineare Abbildung ist ...

Kann mir vielleicht jemand helfen Big Laugh

29.12.2008, 12:31

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Dass das Nullelement auf das Nullemenet abgebildet wird, liegt in der Natur der linearen Abbildung. Augenzwinkern

Für Injektiv musst du untersuchen, dass es kein weiteres Element im Kern von f gibt.

29.12.2008, 12:49

Felix

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Zitat:

Dass das Nullelement auf das Nullemenet abgebildet wird, liegt in der Natur der linearen Abbildung. Augenzwinkern

Schon mein Problem ist nur, dass ich ja nicht mit Sicherheit sagen kann das $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist ...

Was die Injektivität angeht bin ich mit deinem Tipp und mit Hilfe meines Buchs Augenzwinkern

auf folgendes gekommen :

$\begin{eqnarray*} A(f) = A(g) \Rightarrow A(f) - A(g) = 0 \Rightarrow A(f-g) = 0 \Rightarrow f = g \end{eqnarray*}$

lg

29.12.2008, 12:58

tigerbine

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Die Umkehrabbildung darfst du nicht benutzen, die muss ja erstmal existieren. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \text{A ist injektiv}\quad \Leftrightarrow \quad Av=0 \Rightarrow v=0 \end{eqnarray*}$

Injektivität ist wörtlich genommen, die Eindeutigkeit des Urbildes. Somit folgt die Richtung => sofort, und auch für jeden anderen Vektor gibt es ein eindeutiges Urbild. Interessant ist die andere Richtung.

Nehmen wir nun an, es gäbe v und w mit Av=Aw. Dann folgt wegen der Linearität:

$\begin{eqnarray*} 0=Av-Aw=A(v-w) \end{eqnarray*}$

Somit muss wegen der rechten Seite gelten:

$\begin{eqnarray*} v-w=0 \end{eqnarray*}$

Und somit gilt:

$\begin{eqnarray*} v=w \end{eqnarray*}$

Insgesamt steht nun da: Av=Aw => v=w, und das ist gerade die Injektivität.

29.12.2008, 13:05

Felix

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Zitat:

Original von tigerbine
Die Umkehrabbildung darfst du nicht benutzen, die muss ja erstmal existieren. Augenzwinkern

Die eine richtung die du jetzt so ausführlich nochmal gebracht hast habe ich eigentlich eh schon in meinem letztem Post gezeigt Augenzwinkern

Trotzdem Danke Freude

Was die andere Richtung angeht da die Injektivität vorausgesetzt ist darf ich doch mit der Umkehrabbildung arbeiten ?
Das dies unnötig ist sehe ich jetzt aber auch Augenzwinkern

lg und nochmal danke

29.12.2008, 13:20

tigerbine

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Zitat:

Original von Felix
Was die andere Richtung angeht da die Injektivität vorausgesetzt ist darf ich doch mit der Umkehrabbildung arbeiten ?

Das ist gefährlich und geht nur, wenn wir lin.Abbildungen zwischen endlich dimensionlen VR gleicher Dimension betrachten. Die Abbildung muss ja Bijektiv sein, also muss die Surjektivität ja auch noch erfüllt sein.

Einschränkungen also, die für die Aufgabe nicht nötig sind.

29.12.2008, 14:46

Felix

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Ich definiere ja nicht $\begin{eqnarray*} A^{-1}: F --> E \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} A^{-1}: A(E) --> E \end{eqnarray*}$ ist das nicht für jede injektive Abbildung möglich ?

lg

29.12.2008, 14:52

tigerbine

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Was ist E? Und welchen Sinn hat diese Definition? Eigentlich ist ja schon definiert, was man unter einer Inversen versteht. Augenzwinkern

29.12.2008, 15:06

Felix

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RE: lineare Abbildung

Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} A : E -> F \end{eqnarray*}$ sei eine lineare Abbildung.

...

Für die eine Richtung könnte ich zum Beispiel zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1}0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das die Aufgabe im Endeffekt anders viel leichter zu lösen ist ist eine andere Sache Augenzwinkern

29.12.2008, 15:09

tigerbine

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RE: lineare Abbildung
Wie gesagt, $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ist eine gefährliche Schreibweise und führt hier nur zu missverständnissen. Ich würde das lassen. Augenzwinkern

29.12.2008, 15:17

Felix

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Ich werde es in Zukunft vermeiden und sollte es von Nöten sein werde ich die Definitionsmenge genau angeben ... Zufrieden ? Augenzwinkern

29.12.2008, 15:21

tigerbine

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Wenn ich es dir sage kostet es zumindest keine Punkte. Augenzwinkern

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