Beweis Bijektivitöt aus Jänisch

30.12.2008, 17:22

schmouk

Beweis Bijektivitöt aus Jänisch

Hallo,

ich hab hier grad die Aufgabe 2 (Abbildungen) aus dem Jänich vor mir. Sollte eigentlich ne klare Kiste sein. isset aber beschämender Weise nicht.

Zu beweisen:

Sind $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: Y \rightarrow X \end{eqnarray*}$ Abbildungen, und ist ferner $\begin{eqnarray*} fg = id_Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} gf = id_X \end{eqnarray*}$ , so ist f bijektiv und $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ .

Ich meine dass in dem Fall $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ wahr sein muss, ist ja quasi die Definition des Urbildes, oder nicht?

Ich weiß, dass bei der Abbildung X auf Y die Identität hin und zurück gilt. Ich weiß dass f von X auf Y und g von Y auf X abbildet. Das weiß ich.

Und nun muss ich dann doch zeigen, dass wenn eben dieses gilt auch immer gilt, f ist bijektiv und g ist die Umkehrabbildung.

Also heißt das für mich, ich zeige dass f injektiv und surjektiv ist mithilfe von g. denn g und f habe ich ja beide als voraussetzung gegeben. und wenn das der fall ist, gilt auch nach Definition $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ . Richtig?

Also fang ich mal mit der Injektivität an.

Ich geh hin und das x und x' seien in X. und f(x) = f(x') nach Definition der Injektivität muss dann auch x=x' sein, sonst nicht injektiv. Richtig?

Also sage ich durch f wird x auf f(x) in Y abgebildet und f(x)=f(x')=y und ich nehme für die y=f(x') die abbildung g die Y auf X abbildet und stelle fest, y wird auf g(y)=x' abgebildet. Aber für mich heißt das noch lange nicht, dass daraus folgt x=x'.

Ich glaube langsam, ich finde da keinen Zugang zu.

unglücklich

30.12.2008, 18:22

Cordovan

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Genau, du musst Injektivität und Surjektivität zeigen. Du hast jetzt angenommen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x') \end{eqnarray*}$ gilt. Jetzt wende doch mal die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an und schau, was du daraus folgern kannst.

Cordovan

01.01.2009, 13:26

schmouk

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dass ich auf ein eindeutiges x schließen kann. ob nun x' oder x egal. also x = x'

01.01.2009, 16:35

Felix

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Zitat:

Also fang ich mal mit der Injektivität an. Ich geh hin und das x und x' seien in X. und f(x) = f(x') nach Definition der Injektivität muss dann auch x=x' sein, sonst nicht injektiv. Richtig? Also sage ich durch f wird x auf f(x) in Y abgebildet und f(x)=f(x')=y und ich nehme für die y=f(x') die abbildung g die Y auf X abbildet und stelle fest, y wird auf g(y)=x' abgebildet. Aber für mich heißt das noch lange nicht, dass daraus folgt x=x'.

Das stimmt, wenn du allerdings, $\begin{eqnarray*} gf = id_X \end{eqnarray*}$ verwendest dann siehst du, dass x=x'. Denn $\begin{eqnarray*} gf = id_X \end{eqnarray*}$ heißt ja eigentlich nichts anders, als
$\begin{eqnarray*} g[f(x)] = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ .

lg

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