Mathe Aufgabe ungelöst: Über Gerade eine Ebene bestimmen

30.12.2008, 18:24

ConstantinM

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Mathe Aufgabe ungelöst: Über Gerade eine Ebene bestimmen

Hallo,

es geht dabei um folgende Aufgabe:
"Zeigen Sie, dass die Gerade g durch die Punkte P und Q keinen Punkt mit der Kugel K gemeinsam hat.
Besimmten Sie die Berührpunkte der beiden Ebenen, die durch g gehen und die Kugel berühren."

a) P(5|2|1), Q(6|2|-1) K unglücklich

unglücklich

x-(1|2|0))²=9

Lösungsansatz:
Die Gerade g hat die Gleichung g(x)= (5|2|1)+r*(1|0|-2)
=> x1=5+r
x2=2
x3=1-2r

x-Werte in die Kugelgleichung einsetzen. Das ergibt dann r²-4/5 r + 8/5 = 0
Über die pq-Formel kann man zeigen, dass die Wurzel negativ wird und es somit keine Lösung gibt. => Es gibt keine gemeinsamen Punkte von Gerade und Kugel.
_________________________________________________________
Und wie gehts nun weiter? Ich muss irgendwie eine Ebene aufstellen, habe Stützvektor und einen Spannvektor. Jedoch fehlt mir irgendeine weitere Bedingung, um die Ebenengleichung aufstellen zu können!

Könnt ihr weiterhelfen?

Viele Grüße,
Constantin

30.12.2008, 18:35

ConstantinM

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Hatte eben die Idee, dass ich zwei Polarebenen aufstelle. Diese Ebenen schneiden sich in einer Geraden.

Die Ebenen, die ich berechnet habe lauten (über (x-m)*(b-m) ):
1. 4x1+x3-9=0
2. 5x1-x3-14=0

Diese muss ich schneiden lassen, um die Gerade herauszubekommen.

Ich kann aber doch nicht einfach die Koordinatengleichung der Ebenen gleichsetzen, oder? Denn eine Gerade kann ich doch eigentlich nicht in Koordinatenform angeben.

Könnt mir hoffentlich weiterhelfen... unglücklich

unglücklich

30.12.2008, 18:43

riwe

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RE: Mathe Aufgabe ungelöst: Über Gerade eine Ebene bestimmen
so geht´s weiter:
für einen punkt P mit ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ der tangentialebene und den (hilfs)vektor
$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{b}-\vec{m} \end{eqnarray*}$ mit dem ortsvektor des berührpunktes B $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und dem ortsvektor des kugelmittelpunktes $\begin{eqnarray*} \vec{m} \end{eqnarray*}$

gilt

$\begin{eqnarray*} (\vec{p}-\vec{m})\cdot\vec{a}=r^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2= r^2 \end{eqnarray*}$

damit hast du 3 gleichungen für die 3 komponenten des berührpunktes

zur kontrolle, so es stimmt smile

smile

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=(2/\pm 2/1)^T \end{eqnarray*}$

30.12.2008, 18:51

ConstantinM

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Ich verstehe den Ansatz nicht wirklich, bzw. hatte ich diese Behauptung, dass (p-m)*a=0 noch nie gehört!
Komme ich mit meinem Ansatz nicht weiter?

Kannst du ansonsten kurz erklären, wie du auf (p-m)*a=0 kommst?
Ich kenne (x-m)*(p-m)=r² als Formel für die Polarebene!

Viele Grüße,
Constantin

30.12.2008, 19:03

riwe

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Zitat:

Original von ConstantinM
Ich verstehe den Ansatz nicht wirklich, bzw. hatte ich diese Behauptung, dass (p-m)*a=0 noch nie gehört!
Komme ich mit meinem Ansatz nicht weiter?

Kannst du ansonsten kurz erklären, wie du auf (p-m)*a=0 kommst?
Ich kenne (x-m)*(p-m)=r² als Formel für die Polarebene!

Viele Grüße,
Constantin

edit: entschuldige soll heißen $\begin{eqnarray*} ...= r^2 \end{eqnarray*}$

jetzt schon gehört verwirrt

verwirrt

(habe es oben korrigiert, jaja die tipperei unglücklich

unglücklich

)

ich habe meinen beitrag verfaßt, als dein 2. noch nicht da stand.
das muß ich mir erst angucken smile

smile

30.12.2008, 20:12

ConstantinM

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Vielen Dank schonmal!

Ja, das wäre wirklich klasse, wenn du das machen könntest. Ist wahrscheinlich etwas umständlicher, aber ich hoffe, es würde auch stimmen.

Oder kannst du einfach noch etwas zu deinen Ansätzen schreiben?

Welche Gleichungen hast du in ein LGS gesetzt?
Wie hast du das dann gelöst?

Viele Grüße,
Constantin

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30.12.2008, 20:24

riwe

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Zitat:

Original von ConstantinM
Hatte eben die Idee, dass ich zwei Polarebenen aufstelle. Diese Ebenen schneiden sich in einer Geraden.

Die Ebenen, die ich berechnet habe lauten (über (x-m)*(b-m) ):
1. 4x1+x3-9=0
2. 5x1-x3-14=0

Diese muss ich schneiden lassen, um die Gerade herauszubekommen.

Ich kann aber doch nicht einfach die Koordinatengleichung der Ebenen gleichsetzen, oder? Denn eine Gerade kann ich doch eigentlich nicht in Koordinatenform angeben.

Könnt mir hoffentlich weiterhelfen... unglücklich

unglücklich

da muß ich nun einmal dumm fragen:

1) = ?
wie kommst du damit auf die beiden ebenen verwirrt

verwirrt

2) dir ist schon klar, dass keine der beiden ebenen g enthält verwirrt

verwirrt

daher scheint mir dein ansatz eher unvollkommen und nicht zielführend, aber wer weiß Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.12.2008, 21:19

ConstantinM

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Hey,

also folgendes wollte ich machen: Ich habe zwei Punkte gegeben. Anstatt lange eine Geradengleichung zu formulieren, berechne ich von jedem Punkt einzeln eine Polarebene.
Dann habe ich zwei Polarebenen.
Diese Polarebenen schneiden sich in einer Geraden.
Diese Gerade schneidet den Kreis.
Die Schnittpunkte am Kreis entsprechen den zwei Berührpunkten.
Jeweils ein Berührpunkt ergibt zusammen mit den anderen beiden Punkten eine Ebenengleichung.

Soviel zur Theorie. Vielleicht hab ich mich auch verrechnet!? Klingt zwar sehr umständlich, aber den Ansatz hätte ich - wenn er denn stimmt - wenigstens auf Anhieb verstanden ;-)

So, da es aber offensichtlich viel einfacher geht und ich die beiden oben stehenden Formeln nun verstanden habe, kann mir vielleicht jemand noch kurz sagen, wie ich das LGS aufstelle? Weil irgendwie habe ich da bis jetzt auch nur 2 Gleichungen... hmm...

Vielen Dank schon vorab!

Viele Grüße,
Constantin

30.12.2008, 21:21

ConstantinM

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Oder ergibt sich dort gar kein lineares Gleichungssystem? :-P
Ich verstehs noch nicht so wirklich... Hoffe, ihr könnt mir helfen!

Lg!

30.12.2008, 21:45

riwe

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Zitat:

Original von ConstantinM
Hey,

also folgendes wollte ich machen: Ich habe zwei Punkte gegeben. Anstatt lange eine Geradengleichung zu formulieren, berechne ich von jedem Punkt einzeln eine Polarebene.
Dann habe ich zwei Polarebenen.
Diese Polarebenen schneiden sich in einer Geraden.
Diese Gerade schneidet den Kreis.
Die Schnittpunkte am Kreis entsprechen den zwei Berührpunkten.
Jeweils ein Berührpunkt ergibt zusammen mit den anderen beiden Punkten eine Ebenengleichung.

Soviel zur Theorie. Vielleicht hab ich mich auch verrechnet!? Klingt zwar sehr umständlich, aber den Ansatz hätte ich - wenn er denn stimmt - wenigstens auf Anhieb verstanden ;-)

So, da es aber offensichtlich viel einfacher geht und ich die beiden oben stehenden Formeln nun verstanden habe, kann mir vielleicht jemand noch kurz sagen, wie ich das LGS aufstelle? Weil irgendwie habe ich da bis jetzt auch nur 2 Gleichungen... hmm...

Vielen Dank schon vorab!

Viele Grüße,
Constantin

ziemlicher konfusius smile

smile

wieso

verwirrt

verwirrt

welcher kreis verwirrt

verwirrt

nebenbei: sollte dann E2 nicht heißen $\begin{eqnarray*} 5x - z - 9=0 \end{eqnarray*}$

könntest du meine 1. frage von oben beantworten

31.12.2008, 09:40

Kreis ist kein Kreis

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ConstantinM
Mit dem Kreis meinte ich die Kugel...

Die zwei Ebenen schneiden sich in einer Gerade, die wiederum die Kugel schneidet!

Aber mich würde inzwischen viel mehr dein Weg interessieren smile

smile

Weil der ja wirklich viel einfacher aussieht.

Habe die zwei Bedingungen verstanden, dass (p-m)*a=r²
und, dass a²=r².
Aber die dritte habe ich noch nicht...

Viele Grüße,
Constantin

31.12.2008, 11:04

riwe

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RE: ConstantinM

Zitat:

Original von Kreis ist kein Kreis
Mit dem Kreis meinte ich die Kugel...

Die zwei Ebenen schneiden sich in einer Gerade, die wiederum die Kugel schneidet!

Aber mich würde inzwischen viel mehr dein Weg interessieren smile

smile

Weil der ja wirklich viel einfacher aussieht.

Habe die zwei Bedingungen verstanden, dass (p-m)*a=r²
und, dass a²=r².
Aber die dritte habe ich noch nicht...

Viele Grüße,
Constantin

dein weg ist definitiv falsch.
die "zu g gehörenden" polarenebenen haben zwar eine gemeinsame schnittgerade s, diese liefert aber mit der kugel gescnitten NICHT die
gesuchten berührpunkte der zu g gehörenden tangentialebenen.

wenn du

$\begin{eqnarray*} (\vec{p}-\vec{m})\cdot\vec{a}=r^2 \end{eqnarray*}$

wirklich verstanden hast, wobei hast du dann ein problem, die 3. bedingung zu finden, die gerade besteht doch aus mehr als einem punkt smile

smile

also ersetzte $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ smile

smile

darauf hättest du schon selbst kommen können,
auch wenn du mir immer noch nicht meine frage beantwortet hast unglücklich

unglücklich

31.12.2008, 12:07

ConstantinM

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, diese Frage...
Hey,

achso, diese Frage meintest du (hoffentlich meintest du die auch^^):
Das ist die allgemeine Formel für die Polarebene... oder nicht?

Wir haben gelernt, dass es von einem Punkt aus einen Kegel von Geraden gibt, die die Kugel tangieren. (Wenn der Punkt außerhalb der Kugel liegt.)
Alle Berührpunkte liegen in einer Ebene. Und diese Ebene heißt Polarebene.

Wenn ich also zwei Polarebenen einer(!) Kugel schneide, müsste ich doch die Gerade herausbekommen, die geschnitten mit der Kugel zwei Berühpunkte angibt. Oder?

Vielleicht stimmt aber auch etwas an meiner Formel für die Polarebene nicht? (siehe oben in 1))

Viele Grüße,
Constantin
PS: Vielen Dank für die Mühe, die ihr euch macht!

31.12.2008, 13:16

riwe

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RE: Achso, diese Frage...

Zitat:

Original von ConstantinM
Hey,

achso, diese Frage meintest du (hoffentlich meintest du die auch^^):
Das ist die allgemeine Formel für die Polarebene... oder nicht?

Wir haben gelernt, dass es von einem Punkt aus einen Kegel von Geraden gibt, die die Kugel tangieren. (Wenn der Punkt außerhalb der Kugel liegt.)
Alle Berührpunkte liegen in einer Ebene. Und diese Ebene heißt Polarebene.

Wenn ich also zwei Polarebenen einer(!) Kugel schneide, müsste ich doch die Gerade herausbekommen, die geschnitten mit der Kugel zwei Berühpunkte angibt. Oder?

Vielleicht stimmt aber auch etwas an meiner Formel für die Polarebene nicht? (siehe oben in 1))

Viele Grüße,
Constantin
PS: Vielen Dank für die Mühe, die ihr euch macht!

was eine polar(en)ebene ist weiß ich auch Big Laugh

Big Laugh

aber das was du hingemalt hast
(x-m)*(b-m) ist keine gleichung sondern ein TERM.

wie wär´s mit danke schön traurig

traurig

31.12.2008, 14:41

ConstantinM

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Danke!
Hey,

ich sag doch dauernd danke =) Auch im letzten Post hab ich mich bedankt.

Zitat:

Vielen Dank für die Mühe, die ihr euch macht!

hast du doch sogar zitiert... unglücklich

unglücklich

Habe gemerkt, was der Fehler war. Die Gleichung muss auf der rechten Seite nicht 0 sondern r² heißen Freude

Freude

Also nochmal:
(x-m)*(b-m) = r²

Als Gleichung für die Polarebene der Kugel mit Mittelpunkt m, Tangentialkegelspitze B, Radius der Kugel r. Lehrer

Lehrer

Tut mir leid, bin ganz neu hier und irgendwie kann ich das alles noch nicht so gut aufschreiben wie ihr!

Viele Grüße und nochmal danke!

31.12.2008, 15:10

riwe

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RE: Danke!
also dann danke für das "danke" smile

smile

bemühe mal den formeleditor, dann wird es bei dir genauso schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

noch einmal zur (er)läuterung:
der weg über die polarenebene führt nicht zum ziel.

was ich benutzt habe, ist die gleichung der tangentialebene mit dem (noch unbekannten) berührpunkt B mit ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$

die gleichung der tangentialebene T heißt:

(I) $\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{b}-\vec{m})=r^2 \end{eqnarray*}$

nun liegen ja P und Q auf T, daher kann ich $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ in T für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

und mit der abkürzung $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{b}-\vec{m} \end{eqnarray*}$ hast du eben

(II) $\begin{eqnarray*} (\vec{p}-\vec{m})\cdot\vec{a}=r^2 \end{eqnarray*}$

(III) $\begin{eqnarray*} (\vec{q}-\vec{m})\cdot\vec{a}=r^2 \end{eqnarray*}$

und mit (III) $\begin{eqnarray*} a^2=r^2 \end{eqnarray*}$

kannst du problemlos die ortsvektoren der beiden berührpunkte berechnen.

das war´s für heuer in dieser sache
prosit Prost

Prost

ein etwas aufwendigerer aber vielleicht auf den 1. blick einsichtigerer weg geht über das skalarprodukt,
tangenten stehen bekanntlich senkrecht auf den radius(vektor).

(I) $\begin{eqnarray*} (\vec{p}-\vec{b})\cdot(\vec{b}-\vec{m})=0 \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} (\vec{q}-\vec{b})\cdot(\vec{b}-\vec{m})=0 \end{eqnarray*}$
(III) $\begin{eqnarray*} (\vec{b}-\vec{m})=r^2 \end{eqnarray*}$

01.01.2009, 14:16

ConstantinM

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Ah,

vielen Dank.. Ich glaube ich hab's so langsam verstanden! ;-)
Da wäre ich zwar nicht selbst drauf gekommen, aber ich muss heute mal versuchen, das genau nachzurechnen.

Viele Grüße,
Constantin

03.01.2009, 10:49

ConstantinM

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Hallo,

ich bekomme Probleme, wenn ich das Gleichungssystem lösen will.

Dort steht ja (p-m)*a=r²
Jetzt kann ich r² durch a² ausdrücken. Aber da a ein Vektor ist, kann ich doch durch den nicht dividieren...
Das würde heißen, dass ich (p-m)*a da stehen hab und nicht nach m freistellen kann...

Daher gehe ich so vor:
(p-m)*a=r²
<=> (p*a)-(m*a) = r²
<=> (5/2/1)*a-(1/2/0)*a=r²
<=> 4a1 + a3 = 9 => a1= 9/4 - 1/4*a3

Das gleiche mache ich mit (q-m)*a=r². Es ergibt sich:
5a1=9+a3 => a1 = 9/5+1/5*a3

Da es sich um ein LGS handelt, müssen beide Gleichungen erfüllt sein. Können aber beide nicht gleichzeitig erfüllt sein!

Och ich versteh nicht, wo mein Fehler ist beim Lösen der Aufgabe... Ich hab das so noch nie gemacht sondern in der Schule nur über meinen Weg, der komplizierter ist und länger dauert. Im Abi würde ich es aber gerne so machen wie von Dir beschrieben!

Viele Grüße,
Constantin

03.01.2009, 11:23

riwe

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keine ahnung, was du da treibst.
und solange du zu faul bist, den formeleditor zu nutzen, schau ich mir dein zeug auch nicht an unglücklich

unglücklich

du scheinst grundlegende probleme zu haben

mit $\begin{eqnarray*} \vec{a}=(x,y,z)^T \end{eqnarray*}$

I $\begin{eqnarray*} 4x + z=9 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 5x -z =9 \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=(2/\pm 2/1)^T \end{eqnarray*}$

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