Brüche.-> Perioden

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07.01.2009, 16:39	Maiikii	Auf diesen Beitrag antworten »
Brüche.-> Perioden Wer den einen Bruch in die längste Periode setzen kann... ( bis 10000) Viel Spaß... Maiikii =)
07.01.2009, 16:46	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll das jetzt ein Rätsel sein, bei dem man die Rätselstellung erstmal entschlüsseln muss air
07.01.2009, 16:48	Maiikii	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, war eine dumme idee...=) DAs was ich vorhatte sollte mit Nachdenken zu tun haben....
07.01.2009, 16:49	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso eine dumme Idee? Vielleicht weiß ja jemand, was du meinst .. ich tus nicht. Aber eventuell, wenn das nicht die eig. Aufgabe ist, klärst du uns etwas besser auf, was das Rätsel ist. Rätsel haben die tolle Eigenschaft, eig. immer mit Nachdenken zu tun zu haben. air
07.01.2009, 16:55	Maiikii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Rätsel schon irgendwann femacht... ich meine wenn man einen bruch hat 8 _ 4 Und den dann als <Periode> schreiben möchte.... Ich weiß da geht es jetzt nicht.... ... Oh mann :.... Der bruch wenn man ihn als Dezimalzahl, mit der längsten Periode. ________ 2,165874953 oder so einfach nur länger =)
07.01.2009, 16:56	Maiikii	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Bruchstrich soll über der erst hinter dem Komma Beginne...
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07.01.2009, 17:06	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst also den Bruch, der die längste Zahlenfolge als Periode hat? Wofür gilt dann die Grenze 10.000 ... für diese Länge oder für jeweils Zähler und Nenner? air
07.01.2009, 17:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub' ich habe das Rätsel gelöst: Die Lösung: Die Aufgabe lautet, einen Stammbruch mit maximaler Periodenlänge zu finden, dessen Nenner kleiner als 10.000 ist. Richtig?
07.01.2009, 18:18	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erinnert stark an http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=26
08.01.2009, 10:05	pandu1	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste $\begin{eqnarray} \frac{1}{9967} \end{eqnarray}$ sein.
08.01.2009, 13:31	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es auch, mit Periodenlänge 9966. Im Rätselbereich wohl eher falsch untergebracht, aber eine nette Übungsaufgabe für die Algebra - merk ich mir mal. Mit Nenner kleiner 100 (bzw. sogar 1000) auch ohne Rechner bequem lösbar.
31.01.2009, 21:02	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte vielleicht jemand die algebraische Lösung des Rätsels mal hier rein schreiben, wäre sehr nett. Bis denn mathe760
31.01.2009, 23:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Bruch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ muss man sich zunächst die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ anschauen, und zwar hinsichtlich des Auftretens von 2 und 5, allgemein sei das $\begin{eqnarray} n = 2^a \cdot 5^b \cdot q \end{eqnarray}$ mit dann $\begin{eqnarray} \operatorname{ggT}(q,10)=1 \end{eqnarray}$ . Als erstes solltest du dir klar machen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{q} \end{eqnarray}$ dieselbe Periodenlänge der Dezimalbruchentwicklung haben - wir können uns also auf $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ beschränken. Gemäß Satz von Fermat-Euler gilt $\begin{eqnarray} 10^{\varphi(q)} \equiv 1\mod q \end{eqnarray}$ , d.h. es gibt eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} 0<k<10^{\varphi(q)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 10^{\varphi(q)}-1 = kq \end{eqnarray}$ , umgeschrieben $\begin{eqnarray} \frac{1}{q} = \frac{k}{10^{\varphi(q)}-1} = \sum_{j=1}^{\infty} k\cdot 10^{-j\cdot \varphi(q)} \end{eqnarray}$ . Damit hat $\begin{eqnarray} \frac{1}{q} \end{eqnarray}$ schon mal die Periodenlänge $\begin{eqnarray} \varphi(q) \end{eqnarray}$ , es ist nur noch nicht klar, ob das auch die kleinste Periodenlänge $\begin{eqnarray} L_q \end{eqnarray}$ ist. Auf jeden Fall muss $\begin{eqnarray} L_q \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} \varphi(q) \end{eqnarray}$ sein. Wenn wir jetzt nach der größten Periodenlänge für $\begin{eqnarray} n\leq 10000 \end{eqnarray}$ suchen, dann ist schon mal die größten Primzahl q<10000 mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} L_q = \varphi(q) = q-1 \end{eqnarray}$ erster Kandidat. Das wird dann wohl q=9967 sein. Für die einzige noch größere Primzahl 9973 wird man nachrechnen können, dass $\begin{eqnarray} L_{9973} < 9972 \end{eqnarray}$ und damit sogar $\begin{eqnarray} L_{9973} \leq \frac{9972}{2} \end{eqnarray}$ ist. Warum mit dem Finden von 9967 auch alle größeren zusammengesetzten Zahlen $\begin{eqnarray} 9967 < q < 10000 \end{eqnarray}$ ausscheiden, kannst du dir selber überlegen - groß rechnen muss man da nicht mehr, allenfalls $\begin{eqnarray} \varphi(q) \end{eqnarray}$ großzügig abschätzen. EDIT: Nebenbei bemerkt müsste das genannte $\begin{eqnarray} L_q \end{eqnarray}$ gerade die Ordnung des Elements 10 in $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^ \end{eqnarray*}$ sein. Aber zu algebraisch wollte ich den Beitrag oben nicht anlegen, schon weil Algebra nicht so meine Stärke ist.
03.02.2009, 18:17	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Arthur Dent, du hast mir erneut sehr geholfen Ich schaue jetzt mal drüber ob ich das verstehe, aber sieht auf dem ersten Blick ganz verständlich aus Bis denn mathe760
01.03.2010, 15:30	Lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
HÄ Danke Danke Danke! du hast mir sehr geholfen... Jetzt muss ich nur noch wissen was du meinst. Aber danke

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