Körpererweiterungen |
08.01.2009, 17:19 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Körpererweiterungen ich weiß dass solche Fragen eigentlich unüblich sind, aber ich muss ein paar Aussagen auf Richtigkeit prüfen und bin mir bei mehreren noch unsicher. Es wäre nett, wenn jemand mal kurz drüber gucken könnte um zu sagen ob meine Antwort und/oder meine Überlegungen dazu richtig sind. Vielen Dank. Wahr oder falsch? 1. Falsch, das Minimalpolynom wäre doch von Grad 3, daher wäre der Grad der Körpererweiterung auch 3. 2. Falsch, ich komme mit meiner Variante das adjungierte Element fortgesetzt zu potenzieren nicht wirklich weiter...ich vermute aber den Grad unendlich. 3. Richtig, für den Restklassenring müsste das doch passen. 4. Richtig, analog 3. 5. Körperautomorphismus Richtig, laut Wikipedia ist dies eine Galoiserweiterung, die Automorphismengruppe besteht aus der Identität und dem angegebenen Automorphismus. 6. Körperautomorphismus Falsch, da dies analog 5 keine Galoiserweiterung ist. 7. Alle Nullstellen von liegen in k_2. Falsch, kein Zerfällingskörper 8. Alle Nullstellen von liegen in k_5. Richtig, Zerfällungskörper. 9. Es gibt einen Ringhomomorphismus Leider noch keine richtige Ahnung...Idee: Richtig, Begründung fehlt. 10. Es gibt einen -Vektorraumisomorphismus Leider überhaupt keine Idee....ich finde keinen, aber das heißt ja nicht dass es keinen gibt. 11. Falsch, wüsste nicht wieso? So, dass war ne Menge Latex....wär echt lieb wenn mir jemand helfen könnte. Danke nochmals |
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08.01.2009, 18:32 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
hint zu k4: des mit dem erweitert wird is ne einheitswurzel |
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08.01.2009, 19:40 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
RE: Körpererweiterungen Zu 9) für alle und . Zu 10) Beide Vektorräume sind von Dimension 2. In kann man jedes Element als schreiben () und in kann man jedes Element als schreiben (). Welche Basen könnte man also jeweils wählen? Zu 11) Überlege dir . |
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08.01.2009, 19:45 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
RE: Körpererweiterungen
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08.01.2009, 19:58 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
RE: Körpererweiterungen
"Kein Zerfällungskörper" ist keine Begründung, sondern die Umformulierung der Aussage. Zeige, dass das Polynom auch komplexe NST hat, die dann nicht in liegen können. 9. Nimm einen Ringisomorphismus , dann sieht man leicht, dass ist und somit . Es ist aber und damit kann man einen Widerspruch erzeugen. |
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09.01.2009, 09:37 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Hallo und schon einmal vielen Dank für eure tatkräftige Hilfe. In der Tat hat sich ein Druck/Tipp/Lesefehler eingeschlichen: Also das i habe ich nicht gelesen in der Aufgabe. 2. Wie Kiste sagt stimmt die Aussage dann....Verstehe aber noch nicht ganz wieso, da ich mit meinem Vorgehen, dem Potenzieren des adjungierten Elements nicht weiterkomme. 6. Zum Verständnis: Dann habe ich aber noch nicht genau kapiert scheinbar, wieso es sonst keine nichttrivialen Automorphismen gibt..jemand noch einen Hinweis? 7. Da hat Reksilat Recht, eine richtige Begründung ist das nach genauerem Nachdenken nicht. Reicht als Überlegung, dass es eine komplexe Nullstelle also eine komplexe Lösung für x^3=2 gibt, weil zeigen, bzw. ausrechen fällt mir grad nicht so leicht? 9. An den Isomporphismus von System-Manager hatte ich auch gedacht, kam aber nicht weiter....wieso funktioniert der denn nicht? Du meinst doch mit dem Widerspruch dass ich mit a und b aus Q darstellen kann richtig? Daraus kann ich schließen dass es keinen Isomorphismus gibt? 10. Als Basen könnte ich doch dann nehmen. Damit gäbe es dann einen Vektorraumisomorphismus? Vielen Dank nochmal euch allen. So langsam kommt wieder etwas Licht ins Dunkel. Lg Problemfinder |
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09.01.2009, 10:46 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Noch eine frage: Was wäre mit der zu 11) ähnlichen Aussage: für die Erweiterung mit Wurzel zwei leuchtet ein, wie System-Manager das auch sagte. Aber für die mit WUrzel aus -2? i müsste ja zwar vorkommen, aber als "einzelnes" Element, oder immer nur in Verbindung mit Wurzel 2 also: Danke. |
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09.01.2009, 12:21 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
ist drin? weil des müsst bei der existenz von i in dem körper auch drin sein. |
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09.01.2009, 12:30 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Die einfachste Begründung ist hier, dass auf ganz IR streng monoton wachsend ist. Damit kann die Funktion nur eine reelle Nullstelle haben.
Nun, der Isomorphismus von system-agent(!) wäre ja nur ein möglicher, aber dann wäre ein Widerspruch. Auch ein beliebiger Isomorphismus muss auf ein Element von abbilden, also . Quadrierst Du diese Gleichung, kannst Du ebenfalls einen Widerspruch erzeugen.
Eine Basis von als -Vektorraum wäre |
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12.01.2009, 12:20 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||
Hallo, vielen lieben Dank für eure HInweise, hat mir sehr geholfen. bei der frage ob danke für den Hinweis, ist meiner Meinung nach nicht drin, daher auch i nicht. Mit den Vektorraumis- RInghomomorphismen kann ich jetzt auch schon wesentlich mehr anfangen. Die Basis (@Reksilat) leuchtet natürlich nach kurzem Nachdenken ein. Entsprechen die zweite Basis (1,i) Danke! Problemfinder |
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