Volumen aus einer Fläche berechnen

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09.01.2009, 11:45

gbest5

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Volumen aus einer Fläche berechnen

Moin,

wie kann ich ein Volumen aus einer gegebenen Fläche berechnen?

09.01.2009, 12:11

sulo

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RE: Volumen aus einer Fläche berechnen
Direkt gar nicht. Du brauchst noch eine weitere Einheit, denn Du änderst sie von z.B.

$\begin{eqnarray*} m^{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} m^{3} \end{eqnarray*}$

Konkret: Du brauchst noch einen Wert für die 3. Dimension, also die Höhe.
Für die genaue Umrechnung kommt es dann auf Deinen Körper an, dafür gibt es Formeln.
Gruß, sulo

09.01.2009, 12:17

vektorraum

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RE: Volumen aus einer Fläche berechnen

Zitat:

Original von gbest5
Moin,

wie kann ich ein Volumen aus einer gegebenen Fläche berechnen?

Hast du eine konkrete Aufgabe dazu??? Einen ähnlichen Thread habe ich auch schon mal eröffnet, als es darum ging das Volumen der vierdimensionalen Kugel anhand des Volumens der dreidimensionalen Kugel zu bestimmen.

Analog könnte man das für Kreis und Kugel machen oder so...

Poste mal die konkrete Aufgabe.

09.01.2009, 12:37

gbest5

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Volumen aus einer Fläche berechnen
Ich hab einfach eine Fläche, die ich um eine Achse rotieren lassen will

09.01.2009, 12:46

sulo

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RE: Volumen aus einer Fläche berechnen
Welche Fläche ist das? Geht es um Rotationsvolumen bei der Integralrechnung oder ist es einfach Stereometrie?
Gruß, sulo

09.01.2009, 13:54

gbest5

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[attach]9535[/attach]

Das wäre die Fläche, die durch die Punkte vorgegeben ist. Diese Fläche soll um die z-Achse rotieren, was zu einer zylindrischen Form führt und das Zylindervolumen würde ich gerne wissen

09.01.2009, 19:13

sulo

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Hi, sorry, dass ich mich erst jetzt melde, hatte vorher keine Zeit.
Zu Deinem Volumen-Problem muss ich Dir leider sagen, dass ich Dir keine Lösung anbieten kann.
Vielleicht weiß jemand anderes Rat?
Gruß, sulo

12.01.2009, 10:56

gbest5

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ich bin schon ein wenig weitergekommen:
mit Hilfe der Punkte kann ich mir ja die einzelnen Funktionsgeraden ausrechnen und damit dann jeweils intergrieren.
Was ich noch nicht rausbekommen hab: was ist dann jeweils das Volumenintegral und welche Fläche wird damit jeweils integriert. Wie gesagt soll die Fläche um die z-Achse rotieren.

12.01.2009, 13:49

mYthos

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Du musst zunächst die Geraden als Gleichungen in xz erstellen (x = f(z)). Dann gilt

$\begin{eqnarray*} V_z = \pi \int_{z_1}^{z_2}~x^2~dz = \pi \int_{z_1}^{z_2}~f^2(z)~dz \end{eqnarray*}$

mY+

15.01.2009, 10:19

gbest5

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ich kapier es leider immer noch nicht

z.B. bei dem Volumen für

[attach]9608[/attach]

Wenn ich es mit den Volumenformeln für Zylinder und Kegel rechne, komme ich auf:

60,11

ich rechne zuerst das Volumen für den Zylinder I C B H:
$\begin{eqnarray*} V = \pi * r^{2} * h = \pi * 3,7^{2} * 2,3 = 98,92 \end{eqnarray*}$

dann für den Zylinder I D A F:
$\begin{eqnarray*} V = \pi * 1,9^{2} * 1,4 = 15,88 \end{eqnarray*}$

dann rechne ich den Kegel G B H:
$\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{3} * r^{2} * h = \frac{\pi}{3} * 3,7^{2} * (2,3-0,45) = 26,52 \end{eqnarray*}$

und schließlich den Kegel G A F:
$\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{3} * 1,9^{2} * (1,4-0,45) = 3,59 \end{eqnarray*}$

nun ziehe ich die Einzelvolumina voneinander ab:
$\begin{eqnarray*} V[I C B H]-V[G B H]-( V[I D A F]- V[G A F])=98,92-26,52-(15,88-3,59)=60,11 \end{eqnarray*}$

Wenn ich versuch, es mittels Integral zu rechnen:
Durch die beiden Punkte verläuft die Gerade mit der Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,5x-0,45 \end{eqnarray*}$

ich stelle also um:

$\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{z+0,45}{-0,5} \end{eqnarray*}$

das Integral für:

$\begin{eqnarray*} \int_{z1}^{z2}(~\frac{(z+b)^{2}}{m^{2}})~dz \end{eqnarray*}$

ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{z^{3}}{3} +b z^{2} +b^{2} z}{m^{2} } \end{eqnarray*}$

wenn ich dann die Grenzen einsetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{(-2,3)^{3}}{3}) +((-0,45) *(-2,3)^{2}) +((-0,45)^{2}* (-2,3))}{(-0,5)^{2} }-\frac{(\frac{(-1,4)^{3}}{3}) +((-0,45) *(-1,4)^{2}) +((-0,45)^{2}* (-1,4))}{(-0,5)^{2} } =-19,29 \end{eqnarray*}$

das ganze noch mal Pi, dann komme ich auf –60,59; also einem Volumen von 60,59. Ok, die Abweichung ist nicht so groß, diese könnte ma vielleicht mit Rundungsfehlern erkären. Aber bei einem anderen Beispiel komme ich auf eine Differenz von immerhin 7%. Wo ist der Fehler?

15.01.2009, 13:13

mYthos

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Bei beiden Berechnungsarten darf es - ausser durch Rundungsfehler - natürlich keine Abweichungen geben. Somit ist dir irgendwo ein Fehler unterlaufen, der sich dahingehend auswirkt.

Das Volumen, das die Gerade bei Rotation um die z-Achse erzeugt, ist nicht schon das gesuchte Endvolumen, denn dieses ist ebenso mit den beiden Zylindervolumina in Rechnung zu stellen:

V(Gerade) in den Grenzen von -2,3 bis -1,4 ist $\begin{eqnarray*} 0,7299 \pi \end{eqnarray*}$ ; die Gerade x = -2z - 0,9 trifft die z-Achse nicht bei -0,5, sondern bei -0,45 .

Das Gesamtvolumen ist demnach die Differenz der beiden Zylindervolumina abzüglich des durch das Integral berechneten Roptationsvolumens:

$\begin{eqnarray*} V = \pi (V_{z0} - V_{z1} - 0,7299) = \pi (31,487 - 5,054 - 0,7299) = 19,134 \pi = 60,111234 \ \text{VE} \end{eqnarray*}$

mY+

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