Laplace

09.01.2009, 16:33

crazyy

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Laplace

hi leute könnt ihr, mir beim lösen dieser aufgabe helfen:

K=Körper, $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ =natürliche zahl, $\begin{eqnarray*} \beta_0,....,\beta_{n-1},f \in K \end{eqnarray*}$ = Skalara.

ich habe eine nxn-Matrix:

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt soll ich durch laplace- entwicklung und induktion nach n zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} det(A)=f^n+ \beta_{n-1}f^{n-1}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

könnt ihr mir bitte helfen

09.01.2009, 16:56

Reksilat

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RE: Laplace
Und wo ist jetzt das Problem?

Induktionsanfang: n=2
Induktionsschritt: Entwickle nach der ersten Zeile.

09.01.2009, 17:12

crazyy

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ja bei mir ist das noch so ein problem mit der induktion,

also induktonsanfang: n=2

da setze ich ein

$\begin{eqnarray*} det(A)=f²+\beta_{2-1}f^{2-1}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} det(A)=f²+\beta_{1}f^{1}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

hmm aber wie gehts weiter??

und induktionsschritt ist doch:

n=n-1

09.01.2009, 17:24

Reksilat

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Was sollen denn die ... Punkte?
Wie sieht die Matrix für n=2 aus? Wie sieht die Behauptung für n=2 aus?

09.01.2009, 20:17

crazyy

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die punkte waren auch in der matrix dabei,

wie meinst du das mit n=2

10.01.2009, 12:40

Reksilat

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RE: Laplace
Die Matrix hat aber auch allgemein n Zeilen und n Spalten, das kann man nicht einfach so aufschreiben. Für einen fest vorgegebenen Wert n=2 hat die Matrix 2 Zeilen und 2 Spalten, lässt sich also mit den Parametern $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ direkt aufschreiben.

Genauso ist es mit der Formel
$\begin{eqnarray*} det(A)=f^n+ \beta_{n-1}f^{n-1}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$
Diese hat allgemein n+1 Summanden. Im Fall n=2 hat sie nur drei Summanden und lässt sich ohne Pünktchen aufschreiben.

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10.01.2009, 12:56

crazyy

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ach so hast du das gemeint, wie kann ich das denn jetzt zeigen

10.01.2009, 13:08

Reksilat

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Wie sieht die Matrix für n=2 aus?
Wie sieht die Behauptung, also die Determinantengleichung für n=2 aus?

10.01.2009, 13:42

crazyy

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hmm ich weiss jetzt nicht ob ich es richtig verstanden habe, aber für n=2 würde ich es so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} det(A)=f²+2\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

und die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f & \beta_0 \\ f & \beta_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.01.2009, 13:46

Reksilat

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Nein, es ist:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} f & \beta_0 \\ -1 & \beta_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(unten rechts steht -1)

und die Behauptung lautet:
$\begin{eqnarray*} det(A)=f²+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$
(Wo kam denn die 2 her?)

Zeige, dass die Behauptung gilt.

10.01.2009, 13:54

kiste

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Ist nicht eher
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} f & \beta_0 \\ -1 & f+\beta_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2009, 13:57

crazyy

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ja genau, ich habe das erst jetzt von kiste gelesen, wenn ich die matrix von kiste benutze komme ich auch auf die $\begin{eqnarray*} f² \end{eqnarray*}$

bei mir kommt dann $\begin{eqnarray*} det(A)=f² +\beta_1 f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

also wie nach dem prinzip: det(A)=ad-bc

wenn man das gezeigt hat, wie geht es denn jetzt weiter

10.01.2009, 14:36

Reksilat

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RE: Laplace
Stimmt, hab' nicht aufgepasst. Sorry.
Nun kommt der Induktionsschritt:

Induktionsvoraussetzung:
Für jede beliebige (n-1)x(n-1)-Matrix der Form
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-3}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gilt:
$\begin{eqnarray*} det(A)=f^{n-1}+ \beta_{n-2}f^{n-2}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

Jetzt sei A eine nxn-Matrix der Form
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} det(A)=f^{n}+ \beta_{n-1}f^{n-1}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

Entwickle dazu A nach der ersten Zeile(Laplace) und verwende dann die Induktionsvorraussetzung.

10.01.2009, 15:11

crazyy

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ich kann die laplace-entwicklung hier nicht anwenden, kann st du mir vielleicht einen ansatz geben

10.01.2009, 15:22

Reksilat

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Den Ansatz habe ich Dir bereits gegeben: entwickle nach der ersten Zeile. Wenn Du Probleme mit der Laplace-Entwicklung hast, solltest Du Dich vorher damit beschäftigen und an einfacheren Beispielen üben, ehe Du sie hier anwendest.

10.01.2009, 15:50

crazyy

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ja ich habe mir auch alles angeguckt anhand von beispielen usw. nur ich kann es hier nicht anwenden, wenn ich das nach der 1.zeile mache, dann "klammere" ich doch f aus oder? aber wie soll das denn aussehen??

10.01.2009, 16:42

Reksilat

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Es ist
$\begin{eqnarray*} \det (A)=f\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (X)+ \beta_0\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det (Y) \end{eqnarray*}$
soweit klar?

Die Frage ist nur noch, wie die Matrizen X und Y aussehen und was ihre Determinanten sind.

10.01.2009, 17:17

crazyy

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RE: Laplace

Zitat:

Original von crazyy

ich habe eine nxn-Matrix:

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A)=f^n+ \beta_{n-1}f^{n-1}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

mir ist aufgefallen, dass die matrix nicht X sondern A heissen muss, also:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

müsste das dann:

$\begin{eqnarray*} det(A)=f(-1)^{1+1} det(A)+\beta_0(-1)^{1+n} det (B) \end{eqnarray*}$
heissen

also mir ist dann noch nicht klar wie du auf Y bzw. B kommst, X bzw. A ist doch bekannt, wir haben doch die matrix angegeben

10.01.2009, 17:44

Reksilat

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RE: Laplace
Der kleine Fehler aus dem ersten Post ist mir schon aufgefallen, damit haben X und Y aber nichts zu tun.

Zitat:

also mir ist dann noch nicht klar wie du auf Y bzw. B kommst, X bzw. A ist doch bekannt, wir haben doch die matrix angegeben

Dir ist aber schon bewusst, dass man beim Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinanten von Teilmatrizen benötigt? X und Y sind Teilmatrizen von A, welche genau das sollst Du ja jetzt herausfinden.

10.01.2009, 17:51

Musti

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RE: Laplace
Schade, dass ihr das nicht auch auf anderem Wege machen dürft.
Denn man könnte, das f-Fache der letzten Zeile zur vorletzten addieren, dann das f-Fache der vorletzten Zeile zur vorvorletzten usw.
Anschließend erhälst du den Ausdruck der Determinante rechts oben in deiner Matrix.
Wenn du dann noch geschickt Zeilen miteinander vertauschst, solltest du die Determinante leicht ausrechnen können.

Naja das ist nur eine Alternative, ihr sollt es ja anscheinend anders machen.

10.01.2009, 18:19

crazyy

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jaja das ist mir schon bekannt, also du hast ja $\begin{eqnarray*} (-1)^{1+1} \end{eqnarray*}$ geschrieben das bedeutet doch, 1.zeile, 1.spalte, und das heisst wiederum:
das wir die erste Zeile und die erste Spalte streichen

dann stetht da:

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f*1 det \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f & & & & & \beta_1 \\ -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig???

10.01.2009, 18:30

Reksilat

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Soweit richtig, nur der zweite Summand fehlt noch:
$\begin{eqnarray*} \det (A)=f\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (X)+ \beta_0\cdot (-1)^{1+n}\cdot\det (Y) \end{eqnarray*}$

Mit diesen Bezeichnungen ist also
$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} f & & & & & \beta_1 \\ -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und das ist eine (n-1)x(n-1)-Matrix, deren Determinante wir mit der Induktionsvoraussetzung bestimmen können.

10.01.2009, 18:48

crazyy

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ja ich wollte nur mal sicher sein, ob der 1.summand richtig ist, ok, aber bei dem 2.summanden bin ich mir da nicht so sehr sicher:

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f*1 det \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f & & & & & \beta_1 \\ -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \beta_0 *(-1)^{1+n} \end{eqnarray*}$ det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & f & & & & & \\ & -1 & f & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & -1 & f & \\ & & & & & -1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

??

10.01.2009, 18:58

Reksilat

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Ja, stimmt so. Beim zweiten lässt sich die Determinante direkt ausrechnen. (Wichtig ist, dass das auch hier eine (n-1)x(n-1)-Matrix ist)

10.01.2009, 19:07

crazyy

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die determinante bekomme ich nicht auf die reihe, kannst du mir da nochmal helfen, du meintest ja für det(X) kann ich das mit der induktionsvoraussetzungen machen, aber wie und bei det(Y) wie kann ich das denn direkt berechnen??

10.01.2009, 19:17

Reksilat

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Y hat Dreiecksgestalt und bei X musst Du nur die $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ umnumerieren, dann steht das gleiche da wie in der IV.

10.01.2009, 19:41

crazyy

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ich schaffe es nicht, kannst du mir nochmal einen ansatz geben bitte

11.01.2009, 13:02

Reksilat

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Induktionsvoraussetzung:
Für jede beliebige (n-1)x(n-1)-Matrix der Form
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} f & & & & & & \beta_0 \\ -1 & f & & & & & \beta_1 \\ & -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \beta_{n-3}\\ & & & & & -1 & f+\beta_{n-2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gilt:
$\begin{eqnarray*} det(A)=f^{n-1}+ \beta_{n-2}f^{n-2}+...+\beta_1f+\beta_0 \end{eqnarray*}$

Wir wollen jetzt die Determinante folgender Matrix bestimmen (ebenfalls (n-1)x(n-1)-Matrix):
$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} f & & & & & \beta_1 \\ -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 13:45

crazyy

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danke für deine mühe das du das nochmal aufgeschrieben hast,

ich weiss jetzt nicht so recht, macht man das jetzt wieder mit der laplace-entwicklung nach der ersten zeile??

also dann vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} det(X)=f*(-1)^{1+1}*det(V)+\beta_1 *(-1)^{1+n} *det(Z) \end{eqnarray*}$

wie gesagt ich bekomme das nicht auf die reihe

11.01.2009, 14:23

Reksilat

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Ich hab's nicht nochmal aufgeschrieben, sondern nur kopiert, um Dir zu zeigen, dass alles schon da steht. Problematisch ist hier vielleicht, dass die Induktionsvoraussetzung für beliebige $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gilt. Ich benenne das mal um:

Induktionsvoraussetzung:
Für jede beliebige (n-1)x(n-1)-Matrix der Form
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} f & & & & & & \alpha_0 \\ -1 & f & & & & & \alpha_1 \\ & -1 & f & & & & \alpha_2 \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & -1 & f & \alpha_{n-3}\\ & & & & & -1 & f+\alpha_{n-2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und beliebige $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} det(A)=f^{n-1}+ \alpha_{n-2}f^{n-2}+...+\alpha_1f+\alpha_0 \end{eqnarray*}$

Wir wollen jetzt die Determinante folgender Matrix bestimmen (ebenfalls (n-1)x(n-1)-Matrix):
$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} f & & & & & \beta_1 \\ -1 & f & & & & \beta_2 \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & -1 & f & \beta_{n-2}\\ & & & & -1 & f+\beta_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 14:31

crazyy

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hmm

$\begin{eqnarray*} det(X)=f^n +\beta_{n-1}f^{n-1} \end{eqnarray*}$

so richtig

11.01.2009, 15:09

Reksilat

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Du sollst hier nicht einfach rumraten! Schau Dir X an, schau Dir die Induktionsvoraussetzung an, vergleiche beides. Es steht wirklich alles genau da, mehr kann ich auch nicht sagen, irgendwas musst Du auch alleine schaffen.

11.01.2009, 15:18

crazyy

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ne ich rate nicht rum, ich schaffe es einfach nicht, aber trotzdem danke für deine hilfe

11.01.2009, 15:28

Reksilat

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Was haben denn dort oben die Matrizen A und X gemeinsam?

11.01.2009, 15:40

crazyy

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beide sind (n-1)x(n-1) matrizen

11.01.2009, 15:44

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich oben doch schon hingeschrieben. Weitere Ähnlichkeiten siehst Du echt nicht?

Überlege lieber ein wenig länger, bevor Du hier schreibst. Ich bin erstmal weg.

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