Vektorgeometrie - gleichschenkliges dreieck - abhängigkeit von t

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09.01.2009, 16:38	Sina88	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgeometrie - gleichschenkliges dreieck - abhängigkeit von t Also, sitz jetzt schon den ganzen mittag an dieser aufgabe und komme einfach net weiter... geg. A(2t\|3\|5) B(-1\|1-t\|-3) C(8\|1\|-t^2) A, B und C bilden die Eckpunkte eines Dreiecks. jetzt soll man: (1.) alle Werte von t bestimmen für die das Dreieck gleichschenklig ist. (2.) herrausfinden ob es ein t gibt, so dass das Dreieck gleichseitig ist. zu (1.) Bisher bin ich nur zu den Bedingungen gekommen, dass die zwei von den drei Seiten auf jeden fall gleich lang sein müssen... (leider lässt sich mit dem t schlecht rechnen, soll man dann einfach ne beliebige zahl für t einsetzen?) und die ensprechenden Winkel ebenfalls... zu (2.) bisher ist mir nur klar, dass alle seiten und winkel gleich lang sein müssen. aber ich weiß nicht, wie man es rechnen könnte... wäre dankbar für rückmeldungen, auch wenns vllt nur ansätze sind. Bin echt grad am verzweifeln... mfg Sina88
09.01.2009, 17:04	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
als erstes braucht man ja die vektoren der seiten: $\begin{eqnarray} c=\overrightarrow {BA}, b=\overrightarrow {CA}, a=\overrightarrow {BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow c=\begin{pmatrix}2t+1\\2+t\\8\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}2t-8\\2\\5+t^2\end{pmatrix},a=\begin{pmatrix}9\\t\\3+t^2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun die Länge (Beträge) der Vektoren bestimmen in Abhängigkeit von t: (kann man gleich zum quadrat nehmen, dann fällt die wurzel weg) $\begin{eqnarray} \|c\|^2=(2t-1)^2+(2+t)^2+8^2 \end{eqnarray}$ analog für b und c. dann jeweils 2 quadrierte seitenlängen gleichsetzen und nach t auflösen. (gibt also 3 möglichkeiten, wo die seiten gleich lang sein können. für teil 2, musst du schauen, ob eine der bestimmten lösungen für alle 3 seiten die gleiche länge ergibt.
09.01.2009, 17:56	Sina88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey vielen dank, für deine antwort =). ich hab das ganze mal durchgerechnet, kommt dann für t1= $\begin{eqnarray} -(\sqrt{66}+8) \end{eqnarray}$ und für t2= $\begin{eqnarray} \sqrt{66}-8 \end{eqnarray}$ raus? mfg Sina
09.01.2009, 18:46	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
da war nen tippfehler bei mir: $\begin{eqnarray} \|c\|^2=(2t+1)^2+(2+t)^2+8^2 \end{eqnarray}$ ich habs jetzt mal rechnen lassen udn erhalte andere ergebnisse. beachate auch, dass es evtl. mehr als nur 2 lösungen gibt. beim gleichsetzen von a und b, gibts maximal 2 lösungen bei a und c, sowie b und c gibts jeweils 4 lösungen macht also insgesamt 10 mögliche lösungen für die teilaufgabe (1). aber so wie es scheint, sind nicht alle lösungen reell (musst aber trotzdem alle möglichkeiten nachrechnen und zeigen, dass die in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nicht lösbar sind. p.s.: es gibt insgesamt 4 lösungen für (1) und dann kannst du sogar (2) daraus folgern
09.01.2009, 20:05	Sina88	Auf diesen Beitrag antworten »
hm okay, ich hoffe du bist noch da... nur mal kurz zum abgleich... hast du bei $\begin{eqnarray} \mid a \mid ^2 = 9^2+t^2+(-t^2+3)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid b \mid = (2t-8)^2+2^2+(5+t^2)^2 \end{eqnarray}$ ? denn ich glaube, meine ergebnisse können dann nicht stimmen, weil ich beim gleichsetzen von $\begin{eqnarray} \mid a \mid und \mid b \mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid a \mid und \mid c \mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid b \mid und \mid c \mid \end{eqnarray}$ jeweils immer nur 2 ergebnisse für t raus bekomme... lg Sina
09.01.2009, 20:16	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
ich seh gerade, dass ich noch mehr fehler drin habe.. ich tipps mal eben komplett ein
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09.01.2009, 20:31	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a=(-9, -t,-3+t^2)=\overrightarrow{CB} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=(-8+2t,2,5+t^2)=\overrightarrow{CA} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=(1+2t,2+t,8)=\overrightarrow{BA} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a\|^2=t^4-5t^2+90 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|b\|^2=t^4+14t^2-32t+93 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|c\|^2=5t^2+8t+69 \end{eqnarray}$ nun musst du halt die 3 gleichungen lösen: $\begin{eqnarray} 0=\|a\|^2-\|b\|^2 \end{eqnarray}$ 2 Lösungen $\begin{eqnarray} 0=\|b\|^2-\|c\|^2 \end{eqnarray}$ 4 Lösungen $\begin{eqnarray} 0=\|a\|^2-\|c\|^2 \end{eqnarray}$ 4 Lösungen Leider kommen keine schönen Zahlen raus.
09.01.2009, 21:26	Sina88	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo... tut mir leid aber ich komm einfach net auf die 4 ergebnisse von b u. c und a u. c... ich schreib dir mal meinen rechenweg auf, ich find den fehler leider net, vllt kannst du mir weiterhelfen... also: \|a\|^2 - \|b\|^2 =0 wäre dann ja $\begin{eqnarray} 0=\sqrt{t^4 - 5t^2 + 90} - \sqrt{t^4 + 14t^2 - 32t + 93)} \end{eqnarray}$ des ergibt bei mir für $\begin{eqnarray} t= -(\sqrt{199} -16/(19)) t= (\sqrt{199} +16/(19)) \end{eqnarray}$ \|b\|^2 - \|c\|^2 = 0 $\begin{eqnarray} 0=\sqrt{t^4+14t^2-32t+93} -\sqrt{5t^2+8t+69} \end{eqnarray}$ => t=0,725272 t=2,12414 \|a\|^2 - \|b\|^2 $\begin{eqnarray} 0=\sqrt{t^4-5t^2+90} -\sqrt{5t^2+8t+69} \end{eqnarray}$ => t=1,16299 t=3,23518 ich weiß net wie man da auf 4 ergebnisse bei a u. c und b u. c kommen soll... find meinen fehler einfach net... wenn du noch da bist, könntest mir vllt einen tipp geben, was ich falsch gemacht haben könnte? lg Sina
10.01.2009, 00:35	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
also erstmal: sind die wurzeln falsch, die gehören da nicht mehr hin, da es ja schon quadriert ist: $\begin{eqnarray} 0=(t^4 - 5t^2 + 90) - (t^4 + 14t^2 - 32t + 93) = \|a\|^2-\|b\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=(t^4+14t^2-32t+93) - (5t^2+8t+69) = \|b\|^2-\|c\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=(t^4-5t^2+90) - (5t^2+8t+69) = \|a\|^2-\|b\|^2 \end{eqnarray}$ die lösungen, die du hast sind richtig (bei die ersten gleichung aber: $\begin{eqnarray} t=\frac{\pm\sqrt{199}-16}{19} \end{eqnarray}$ ). und mit den weiteren lösungen bin ich wohl über das ziel hinaus geschossen, sofern du noch keine komplexe zahlen hattest, gibt es für dich keine weiteren lösungen. (Falls es dich interessiert: Stichwort Fundamentalsatz der Algebra) für die t, die du nun bestimmt hast, wird das Dreieck gleichschenklig. und für teil 2, was muss da gelten? und wie kann man sich da teil 1 zu nutze machen?
10.01.2009, 12:37	Sina88	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh okay ^^ hast recht, des hatte ich noch net und werd es vermutlich auch nie haben... aber ist schon interessant wie weit man die aufgabe dann doch lösen kann, wenn man das nötige know-how hat. =) für den zweiten teil hab ich alle t's überprüft was für eine länge raus kommt, wenn ich sie in \|a\|^2 \|b\|^2 und \|c\|^2 einsetze... bin dabei zu dem ergebnis gekommen, dass es kein t gibt, für dass das dreieck gleichseitig ist... stimmt das? ah und noch ne frage, warum heißt es $\begin{eqnarray} t= \frac{(\pm \sqrt{199} - 16)}{19} \end{eqnarray}$ ? ist es falsch wenn man $\begin{eqnarray} t =\frac{( \sqrt{199} + 16)}{19} <br /> <br /> \frac{( - \sqrt{199} - 16)}{19} \end{eqnarray}$ schreibt? lg Sina
10.01.2009, 18:20	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
2 kann man einfacher begründen: es gibt kein t, sodass ein gleichseitiges dreieck entsteht, da dieses dann jede der 3 gleichungen erfüllen würde, aber da haben wir ja immer verschiedene t ausgerechnet. ob du nun $\begin{eqnarray} t= \frac{\pm \sqrt{199} - 16}{19} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} t_1= \frac{\sqrt{199} - 16}{19} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_2= \frac{-\sqrt{199} - 16}{19} \end{eqnarray}$ schreibst ist egal, was ich eigentlich meinte ist, dass du oben $\begin{eqnarray} \sqrt{199}-\frac{16}{19} \end{eqnarray}$ stehen hattest... (Klammersetzung war falsch)
10.01.2009, 18:50	Sina88	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay verstehe... ist wirklich viel einfacher, und auch schneller ^^ Vielen Dank für deine Hilfe. Hast mir wirklich sehr weitergeholfen =) Wünsch dir noch nen schönen Samstagabend, (ich darf jetzt mit bio weitermachen ^^) Liebe Grüße Sina

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