Lin. Abb.: Beweis über Rang

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Lin. Abb.: Beweis über Rang
Hi zum zweiten

Ich habe erneut den (endlichdimensionalen) Vektorraum V und einen Endomorphismus f mit .

Nun muss ich beweisen, dass gilt.

Meine Überlegung setzt bei der Definition der direkten Summe an. Damit V die direkte Summe von Bild und Kern sein kann, dürfen diese nur den Nullvektor gemeinsam haben. Dann ist auch automatisch klar, dass jeder Vektor aus v sich eindeutig als Summe eines Vektors aus Bild(f) und eines aus Kern(f) schreiben lässt.

Mit Induktion kann man zeigen, dass Rang(f)=Rang(f^n) gilt, allerdings weiss ich nicht, ob das nützlich ist.

Eine weitere, eher naive Idee war gewesen, dass Rang(f)=dim(V) gelten müsse -- mittlerweile glaube ich das aber nicht mehr. V.a. nicht, weil ich im zweiten Teil der Aufgabe ein Beispiel für so ein f geben muss, das nicht invertierbar (und nicht die Nullabbildung) ist.

Hat mir auch hier jemand einen Tipp? Thx
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du richtig erkannst hast, ist die Kernaufgabe zu zeigen, dass gilt.

Angenommen dies ist nicht der Fall. Dann gibt es ein von 0 verschiedenes , dass in Bild und Kern ist. Also gibt es zu diesem v ein mit:
.

Dann ist aber .

Dies kann man zu einem Widerspruch führen (Hinweis: v und w sind linear unabhängig).
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann ist aber .


Nur zur Sicherheit: Ist nicht ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt auch, aber wichtiger ist, dass auch noch gilt.

Vielleicht hätte man die Gleichungskette eher so schreiben sollen:

Entscheidend ist, dass beide 0 sind. Das ist keine Umformung oder so.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja klar, ich Depp. Wenn f(v)=0 ist, dann ist natürlich f^2(v)=f(0)=0.

Jetzt versuche ich mal, den Widerspruch zu finden... BTW: Wieso darf man davon ausgehen, dass die beiden Vektoren l.u. sind?

EDIT: Ich glaube, ich den Widerspruch: Sei v_1 ... v_n eine Basis von V. Dann ist

und

Ausserdem ist wegen f^2(w)=f^2(v) auch



Also gäbe es zwei verschiedene Linearkombinationen für denselben Vektor, was nicht sein kann.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen ist nicht im Kern, also auch nicht linear abhängig zu Vektoren im Kern.
 
 
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Klar! Solche Dinge sollte man eigentlich von selbst sehen können unglücklich

Immerhin glaube ich, ein Beispiel für eine solche Abbildung gefunden zu haben: Sei .

Dann ist Rang(f) = Rang(f^2) = 1. Da die Abbildung aber nicht injektiv und deshalb auch nicht bijektiv ist, kann sie nicht invertiert werden.

Auch für eine andere Anforderung glaube ich ein Beispiel gefunden zu haben: Abbildung g mit Rang(g)>Rang(g^2). Sei .

Dann ist Rang(g) = 2 und Rang(g^2) = 1. (Ausgerechnet über die zugehörige Matrix bei Verwendung der Standardbasen von R^3:
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Ausserdem ist wegen f^2(w)=f^2(v) auch



Also gäbe es zwei verschiedene Linearkombinationen für denselben Vektor, was nicht sein kann.


Die ,s bilden ja nicht unbedingt eine Basis. Also ist es nicht verwunderlich, dass ein Vektor 2 verschiedene Linearkombinationen haben.

Es ist eigentlich ganz einfach.

Es ist ja , denn alles, was im Kern von ist, ist auch im Kern von .

Nun ist , aber .
Was folgt daraus für die Aussage ?
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst dann, dass die Dimension von Kern(f^2) strikt grösser sein muss als die von Kern(f), denn die beiden Unterräume von V sind ja offensichtlich nicht identisch.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und wegen ergibt sich der Widerspruch.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Güte, ja! Vielen Dank für die Hilfe. Darauf wäre ich nicht gekommen, aber jetzt, wo's dasteht, finde ich es so offensichtlich -- wie immer halt.
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