Matrizenprodukt

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04.09.2006, 17:11

kingskid

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Matrizenprodukt

hi!
Wie würdet ihr die Definition des Matrizenproduktes begründen??

viele grüße

04.09.2006, 17:19

xrt-Physik

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Physik Tip:

http://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/...the/node25.html

04.09.2006, 17:36

WebFritzi

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@xrt: Es ging ihr nicht um die Definition, sondern die Begründung der Definition.

@kingskid: Reichen dir lineare Gleichungssysteme nicht?

04.09.2006, 18:28

xrt-Physik

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Die Multiplikation von Matrizen kann man sich als einen Produktionsab-
lauf vorsellen. Seien E1, E2 und E3 die Endprodukte, die aus den Zwi-
schenprodukten Z1 und Z2 nach unterschiedlichen Mengen davon
hergestellt werden. Genauso werden die Zwischenprodukte aus einer
bestimmten Menge an Rohstoffen R1, R2 und R3 hergestellt.
Man kann dies alles in eine Tabelle fassen und diese Tabelle dann als
Matrix schreiben.

Tabelle:
R1 R2 R3 Z1 Z2
Z1 a11 a12 a13 E1 b11 b12
Z2 a21 a22 a23 E2 b21 b22
E3 b31 b32

Hierbei ist aZeileSpalte das Element für eine Rohstoffeinheit für das
zutreffende Zwischenprodukt, bZeileSpalte das Element für eine
Zwischenprodukteinheit für das zutreffende Endprodukt ist.

Nun will ich wissen, wieviel Rohstoffeinheiten ein Endprodukt haben
soll. Erstmal über Zwischenprodukt Z1 und Z2:
Z1 = a11*R1 + a12*R2 + a13*R3
Z2 = a21*R1 + a22*R2 + a23*R3
Und für die Endprodukte E1, E2 und E3:
E1 = b11*Z1 + b12*Z2
E2 = b21*Z1 + b22*Z2
E3 = b31*Z1 + b32*Z2
Wenn man die Zwischenprodukte für Endprodukte einsetzt, kann man
sich vorstellen, wie Matrixmultiplikation abläuft.

Augenzwinkern

04.09.2006, 21:29

kingskid

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@xrt-physik: danke für deine erklärung, aber ich glaub mein mathe-prof freut sich nicht so sehr, wenn ich ihm in der mündl. prüfung was von rohstoffen erzähle...

@webfritzi:
wie meinst du das mit den LGS`??
dachte irgendwie an lineare abbildungen, aber so ganz klar ist mir das nicht, wie man das gut begründen kann...

04.09.2006, 21:33

Dual Space

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Ist zwar Ansichtssache, aber wenn man eine Definition begründen will, dreht man sich oft im Kreis.

Vielleicht will er ja darauf hinaus, warum es sinnvoll ist die Matrixmultiplikation grad so zu definieren wie sie ist (immerhin gibt es da einige Möglichkeiten).

04.09.2006, 21:41

kingskid

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Zitat:

Vielleicht will er ja darauf hinaus, warum es sinnvoll ist die Matrixmultiplikation grad so zu definieren wie sie ist

das ist ja meine frage.. .wie würdest du es begründen, warum es so sinnvoll ist??

04.09.2006, 21:50

Dual Space

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Nunja, dann kann man sich damit (und ein paar anderen Dingen Augenzwinkern

) einen Ring basteln. Soweit ich das überschauen kann, klappt das mit einer anderen Definition für das Matrixprodukt nicht so schön.

05.09.2006, 03:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dual Space
Vielleicht will er ja darauf hinaus,...

Lass mich raten: Du hast in deinem Browser das Anzeigen von Bildern deaktiviert?

@kingskid: Wie ich das mit den LGS'en meine? Na, ganz einfach. Hat man ein solches, z.B.

$\begin{eqnarray*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 &=& b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 &=& b_2\\a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 &=& b_3, \end{eqnarray*}$

und setzt

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$

dann kann man das obige LGS wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}. \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 09:30

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Dual Space
Vielleicht will er ja darauf hinaus,...

Lass mich raten: Du hast in deinem Browser das Anzeigen von Bildern deaktiviert?

Nö. Aber wie kommst darauf? verwirrt

*nixversteh*

05.09.2006, 13:03

derkoch

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Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Dual Space
Vielleicht will er ja darauf hinaus,...

Lass mich raten: Du hast in deinem Browser das Anzeigen von Bildern deaktiviert?

Nö. Aber wie kommst darauf? verwirrt

*nixversteh*

*linksblick* und aufs Avatar von kingskid schauen! Big Laugh

denke mal Webfritzi meinte das!

05.09.2006, 13:17

Dual Space

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Zitat:

Original von derkoch
denke mal Webfritzi meinte das!

Achso ... aber mit ER meinte ich ja auch den PRÜFER! Big Laugh

05.09.2006, 14:32

WebFritzi

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Oh...

<---- Geilster Smiley überhaupt

05.09.2006, 15:22

xrt-Physik

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Wenn man eine Matrix A und eine Matrix B miteinander multiplizieren,
so entsteht die Produktmatrix C. C = AB
Nun erweitert man mit dem Vektor
$\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} C = AB\vec{v} \vec{v} ^{-1} \end{eqnarray*}$

Der Vektor v macht nichts anderes, als einer der Matrizen zu einen
linearen Gleichungssystem zu verformen.

$\begin{eqnarray*} A\vec{v} = \vec{v} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem ist wiederum nur ein Vektor, den man mit der
Matrix B nach dem Gesetz der Matrix-Vektor-Multiplikation multipliziert.
Nun kommt ein neuer Vektor, der die Form eines Linearen Gleichungs-
systemes (LGS) hat. $\begin{eqnarray*} z^{-1} \end{eqnarray*}$ bewirkt, dass ein Vektor, der
ein Lineares Gleichungssystem ist, ganz einfach nach Koeffizienten zurück
in eine Matrix verwandelt wird. Das ist dann die Produktmatrix!

05.09.2006, 16:36

WebFritzi

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Sorry, aber da in deinem Beitrag so viel Quatsch steht, verstehe ich kein Wort...

05.09.2006, 16:52

xrt-Physik

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$\begin{eqnarray*} z^{-1} = \vec{v}^{-1} \end{eqnarray*}$

@WebFritzi: Was verstehst du daran nicht?

05.09.2006, 17:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von xrt-Physik
$\begin{eqnarray*} z^{-1} = \vec{v}^{-1} \end{eqnarray*}$

Erstens zitierst du hiermit etwas, was du nie geschrieben hattest, und zweitens ist das absoluter Humbug. Das eine ist ne Zahl, das andere ein Vektor. Das kann nicht gleich sein. Bitte versuche, ein wenig mathematischer zu sein. Ich weiß, für euch Physiker ist das schwer ( Big Laugh

), aber ein Mathematiker wird dich - ohne starkes Nachgrübeln darüber, was du wohl gemeint haben könntest - nicht verstehen.

05.09.2006, 17:27

xrt-Physik

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Es ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ damit gemeint, ich habe ihn nur aus Versehen durch z bezeichnet.

05.09.2006, 21:00

quarague

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für die ursprüngliche Problemstellung würde ich eine geometrische Erklärung versuchen.
Man kann sich eine (der Einfachhalt halber quadratische) Matrix als lineare Abblidung des IR^n vorstellen (wenn man sich das bildlich vorstellen will, sollte n gleich 2 oder 3 sein Augenzwinkern

dann kann man sich auch vorstellen, was passiert wenn man zwei solcher Abbildungen hintereinander ausführt. Das Ergebnis ist wieder eine lineare Abbildung, die sich auch als Matrix darstellen lässt. Da wäre es doch schön, wenn man diese neue Matrix auch irgendwie aus den beiden ursprünglichen ausrechnen kann, ohne die geometrische Überlegung. Dieses Ausrechnen macht man durch die normale Matrizenmultiplikation, die aus zum Beispiel diesem Grund genauso definiert ist Wink

06.09.2006, 10:15

kingskid

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hi quarague!

das hört sich logisch an mit der hintereinanderausführung von abbildungen. aber warum definiert man die matrix-multiplikation dann gerade mit "zeile mal spalte" - hat das auch einen "tieferen sinn" in bezug auf die abbildungen??

06.09.2006, 15:28

Ben Sisko

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Einfacher klar machen kann man es sich vermutlich bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.
Wenn man beachtet, dass in der Matrix (als lin. Abb. aufgefasst) die Bilder der Basisvektoren stehen, dann entspricht die Multiplikation der Matrix mit einem Koordinatenvektor (Vektor, der den Koeffizienten der Linearkombination der Basisbilder entspricht) gerade dem Bild des Vektors unter dieser Abbildung.

Edit: Hm, wirkt ein bisschen wirr, diese Erklärung, kann man verstehen, was ich meine? verwirrt

06.09.2006, 17:17

kingskid

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hmm, danke für die erklärung, aber warum stehn in der matrix die bilder der basisvektoren?
dachte, da stehn nur die koeffizienten drin, die man erhält, wenn man das bild als LK durch die basis im zielraum darstellt`?

also meinst du dass man statt einen vektor "ganz normal" abzubilden, ihn auch einfach mit der matrix multiplizieren kann???

06.09.2006, 17:42

irre.flexiv

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Ich hätte noch ne plausible Idee im Zusammenhang mit neutralen Elementen,

ausgehend von der Idee wie man Matrix und Vektor multipliziert (Gleichungssysteme).

Jetzt kann man sich ja fragen wie die Matrix aussehen muss damit $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = \vec{x} \end{eqnarray*}$ .

Man kommt schnell drauf das A die Einheitsmatrix E ist.

Wie muss nun die Mult. aussehen damit $\begin{eqnarray*} A\cdot E = A \end{eqnarray*}$ gilt? Man kommt auf die normale Matrizenmult. als eine Lösung.

06.09.2006, 18:02

AnonymousMathematicus

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Hmm, wenn jetz schon soviele hier ihr Glück versucht haben, dann werde ich auch mal was dazu schreiben Augenzwinkern

Vielleicht hilft Dir http://www.tu-ilmenau.de/site/ktea/filea...19_Matrizen.pdf
ja weiter. Da wird hauptsächlich darauf eingegangen dass Matrizen ja nicht nur mit reellen Zahlen bestückt werden können , sondern auch mit anderen Halbringen smile

Darauf aufbauend wird dann die Matrizenmultiplikation mal etwas genauer unter die Lupe genommen und festgestellt dass sie doch etwas komplexer ist ...

06.09.2006, 18:14

WebFritzi

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Voll am Thema vorbei...

06.09.2006, 18:20

AnonymousMathematicus

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Dann klär mich mal auf was daran am Thema vorbei ist smile

Ich will ja nicht dumm sterben *g*

Ich sehe es so dass es neben der Schulmethode noch die von Strasser gibt.
Wenn ich jetzt davon ausgehe dass wir in der Schule nicht die Methode nach Strasser lernen, dann fragt man sich natürlich warum. Eben dies kann doch helfen die Frage zu beantworten warum man üblicherweise die Matrizenmultiplikation in einer bestimmten Weise definiert.

07.09.2006, 23:22

Ben Sisko

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Zitat:

Original von kingskid
also meinst du dass man statt einen vektor "ganz normal" abzubilden, ihn auch einfach mit der matrix multiplizieren kann???

Ja natürlich! Wusstest du das nicht? geschockt

08.09.2006, 13:59

Bier18

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@Kingskid

Schreib einfach zwei Gleichungssysteme hin.

$\begin{eqnarray*} Ax=b\\ Bz=x \end{eqnarray*}$

Und dann setzt du diese ineinader ein.

$\begin{eqnarray*} ABz=b \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Gleichungssysteme ausschreibt also

$\begin{eqnarray*} a_{11}x_1+....usw. \end{eqnarray*}$

und dann ineinander einsetzt sieht man wieso die Matrixmultiplikation gerade so definiert wurde, wie sie definiert ist.

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