Zentralisator von endlichem Index in G

11.01.2009, 12:44

toasten

Zentralisator von endlichem Index in G

Hallo,

ich soll zeigen, dass wenn H ein endlicher Normalteiler in G ist, so ist der Zentralisator $\begin{eqnarray*} Z_G(H) = \left\{ g \in G \mid \forall h \in H: gs=sg \right\} \end{eqnarray*}$ von endlichem Index in H.

Ich selber habe bisher nur die Idee gehabt, dass ja H Normalteiler G impliziert, dass auch $\begin{eqnarray*} Z_G(H) \end{eqnarray*}$ Normalteiler von G ist. Und somit läuft die Sache darauf hinaus, dass zu zeigen ist, dass die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} G/Z_G(H) \end{eqnarray*}$ endlich ist.

Aber irgendwie... verwirrt

Kann mir jemand netterweise weiterhelfen?

Wir haben noch einen Hinweis bekommen uns eine geeignete Gruppenwirkung anzuschauen bzw den dazu assoziierten Gruppenhomomorphismus.

Vielen Dank
Torsten

11.01.2009, 12:55

marodeur

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muss es nicht heißen:
$\begin{eqnarray*} Z_G(H) = \left\{ g \in G \mid \forall h \in H: gh=hg \right\} \end{eqnarray*}$

und für welche $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt es denn, wenn H ein Normalteiler ist? (Definition von Normalteiler)

11.01.2009, 13:08

toasten

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Zitat:

Original von marodeur
muss es nicht heißen:
$\begin{eqnarray*} Z_G(H) = \left\{ g \in G \mid \forall h \in H: gh=hg \right\} \end{eqnarray*}$

Ja, sorry.

Zitat:

Original von marodeur
und für welche $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt es denn, wenn H ein Normalteiler ist? (Definition von Normalteiler)

Naja, wenn H Normalteiler ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} ghg^{-1}\in H \end{eqnarray*}$ ...

11.01.2009, 16:15

marodeur

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ich seh grad, ist blödsinn, hab mich vermacht mit der gleichung und habs mit gH=Hg verwechselt...

11.01.2009, 16:40

toasten

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das heißt also, du hast erstmal keine Idee für einen Lösungsansatz?

11.01.2009, 18:34

Reksilat

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Nimm erstmal zwei verschiedene Elemente $\begin{eqnarray*} x,y\in G\backslash Z_G(H) \end{eqnarray*}$ her (ich meine hier wirklich Minus).

Da $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler ist, operieren/wirken diese auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ per Konjugation und die Frage ist nun, was es bedeuten würde, wenn beide Elemente auf gleiche Art und Weise operieren, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} h^x=h^y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Anmerkung: Es ist leider recht schwer hier zu helfen, da es immer unterschiedliche Bezeichnungen gibt und ich nicht weiß, was man schon voraussetzen kann. Frag' einfach nach, wenn Dir was unklar ist.

11.01.2009, 20:56

toasten

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ja, also die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} h^x \end{eqnarray*}$ hatten wir nicht.

Ich probiere es einfach mal mit meinen Worten zu wiederholen, was du meinst:

Betrachten der Gruppenwirkung
$\begin{eqnarray*} G \backslash Z_G(H) \times H \rightarrow H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x,h) \mapsto xhx^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Und mit deinem $\begin{eqnarray*} h^x = h^y \end{eqnarray*}$ meinst du wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} xhx^{-1}=yhy^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Aber was bringt mir das? verwirrt

11.01.2009, 21:28

Mathespezialschüler

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Betrachte lieber die Gruppenwirkung $\begin{eqnarray*} G\times H\to H \end{eqnarray*}$ , welche gegeben ist durch

$\begin{eqnarray*} (g,h)\mapsto ghg^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Diese induziert einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \hat\varphi:G\to\mathrm{Bij}(H) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in die Gruppe aller bijektiven Selbstabbildungen von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ . Dieser ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \hat\varphi(g)=\varphi_g \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi_g:H\to H \end{eqnarray*}$ die Bijektion

$\begin{eqnarray*} \varphi_g(h):=ghg^{-1} \end{eqnarray*}$

darstellt. Überlege dir, was der Kern dieses Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \hat\varphi \end{eqnarray*}$ ist. Wann gilt also $\begin{eqnarray*} \varphi_g=\mathrm{id}_H \end{eqnarray*}$ ? Wenn du den bestimmt hast, dann siehst du hoffentlich auch, was dir das bringt.

11.01.2009, 23:15

toasten

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aha, ich habe jetzt
$\begin{eqnarray*} \varphi_x(h)=h \Leftrightarrow h=xhx^{-1} \Leftrightarrow hx=xh \Leftrightarrow x \in Z_G(H) \Rightarrow Z_G(H)=Kern(\hat\varphi) \end{eqnarray*}$

Kann man jetzt mit dem Homomorphiesatz
$\begin{eqnarray*} G/Kern(\hat\varphi) \cong im(\hat\varphi) \end{eqnarray*}$ folgern, da H endlicher Normalteiler ist $\begin{eqnarray*} im(\hat\varphi) \end{eqnarray*}$ endlich und somit auch $\begin{eqnarray*} kern(\hat\varphi)=Z_G(H) \end{eqnarray*}$ endlich?

11.01.2009, 23:52

Mathespezialschüler

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"... und somit auch $\begin{eqnarray*} G/\mathrm{ker}(\hat\varphi)=G/Z_G(H) \end{eqnarray*}$ endlich" sollte es heißen. Vielleicht wäre noch eine kleine Bemerkung angebracht, warum $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}(\hat\varphi) \end{eqnarray*}$ endlich sein muss, ansonsten passt dann alles.

12.01.2009, 09:39

toasten

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
"... und somit auch $\begin{eqnarray*} G/\mathrm{ker}(\hat\varphi)=G/Z_G(H) \end{eqnarray*}$ endlich" sollte es heißen.

Ja, stimmt. Noch eine kleine Frage zur Schreibweise: Ist # $\begin{eqnarray*} G / Z_G(H) = \left[ G : Z_G(H) \right] \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Vielleicht wäre noch eine kleine Bemerkung angebracht, warum $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}(\hat\varphi) \end{eqnarray*}$ endlich sein muss, ansonsten passt dann alles.

Naja, dadurch dass H endlich ist, gibt es halt auch nur endlich viele Bijektionen von H nach H. Reicht das, es so salopp zu sagen?

Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe!

Grüße
Toasten

12.01.2009, 14:53

Reksilat

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Es ist $\begin{eqnarray*} {\rm im}(\hat{\varphi}) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \Sigma_n \end{eqnarray*}$ (n=|H|), also der Permutationsgruppe von n Elementen, und diese ist endlich.

Allgemein lässt sich sagen, dass $\begin{eqnarray*} N_G(H)/Z_G(H)\cong U\leq {\rm Aut}(H) \end{eqnarray*}$ ist, also isomorph zu einer Untergruppe der vollen Automorphismengruppe von H.
Hierbei ist $\begin{eqnarray*} N_G(H)=\{g\in G|\forall h\in H:g^{-1}hg\in H\} \end{eqnarray*}$ der Normalisator von H in G, im vorliegenden Fall also $\begin{eqnarray*} N_G(H)=G \end{eqnarray*}$ .

Zur Schreibweise: Das mit der Raute kenne ich nicht, aber für die Ordnung gilt:
$\begin{eqnarray*} |G/Z_G(H)|=[G:Z_G(H)]=|G|/|Z_G(H)| \end{eqnarray*}$

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