Grenzwertbestimmung

11.01.2009, 15:18

IrMel

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Grenzwertbestimmung

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe zur Grenzwertbestimmung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n+3)}{(2n+1)})^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Ich habe 2n ausgeklammert, gekürzt, dann kam $\begin{eqnarray*} (\frac{(1+\frac{3}{2n}}{(1+\frac{1}{2n}})^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ heraus, beide Brüche im Zähler und Nenner würden gegen null gehen und somit bleibt nurnoch $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1})^{(n+1)}=1 \end{eqnarray*}$ übrig, das ist aber falsch, denn der Grenzwert müsste bei 2,7 liegen (ca.), sagt mein Taschenrechner.

Wo liegt mein Fehler bzw. welche Rechenregel muss ich anwenden?

11.01.2009, 15:22

tmo

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Du musst $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e \end{eqnarray*}$ verwenden.

Der Fehler liegt dadrin, dass du erst das eine n und dann das andere n gegen unendlich gehen lässt.

11.01.2009, 15:37

IrMel

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Hmmm, also ich habe das dann so gemacht:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+\frac{3}{2n}}{1+\frac{1}{2n}})^{n} * (\frac{1+\frac{3}{2n}}{1+\frac{1}{2n}})^{1} \end{eqnarray*}$
das hinter dem Mal-Zeichen würde gegen 1 streben, also muss ich nur noch zeigen, dass das vor dem Malzeichen = $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist?

habe schon dran rumprobiert aber ich wüsste nicht wie, für mich ist das nicht das gleiche.

11.01.2009, 15:39

tmo

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Bringe den Bruch in den Klammern doch erstmal auf die Form $\begin{eqnarray*} 1+h \end{eqnarray*}$ .

11.01.2009, 15:44

IrMel

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Also mit dem Kehrwert multipliziert ergäbe das:

$\begin{eqnarray*} 4+2n+\frac{3}{2n} \end{eqnarray*}$ meinst du das?

11.01.2009, 15:52

bartho

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RE: Grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von IrMel
$\begin{eqnarray*} (\frac{(1+\frac{3}{2n}}{(1+\frac{1}{2n}})^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Das schonmal gut, dann betrachtest du beides einzeln, es würde sich ergeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{3}{2} }} { e^{\frac{1}{2} }} = e \end{eqnarray*}$

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11.01.2009, 15:57

IrMel

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RE: Grenzwertbestimmung
Oh danke, ich wusste nicht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{3}{2} }} { e^{\frac{1}{2} }} = e \end{eqnarray*}$ ist, bzw. dass $\begin{eqnarray*} 1+\frac{3}{2n}=e^{3/2} \end{eqnarray*}$ ist, vielen Dank =)

11.01.2009, 18:52

IrMel

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okay, die vorhin gestellte Aufgabe war eine von 5. Ich habe die anderen 4 bereits gelöst, möchte einige hier gerne posten, um evtl. Fehler genannt zu bekommen, oder auch einfach, damit andere hiervon lernen =)

also, b) lautet: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n^{2}-1}{n^{2}})^{n^{4}} \end{eqnarray*}$
Habe hier $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und weggekürzt, somit erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n^{2}})^{n^{4}} = (1-\frac{1}{n^{2}})^{n^{4}} ) = 1^{n^{4}} = 1 \end{eqnarray*}$

Der Taschenrechner bestätigt meine Rechnung, aber wenn ich das hier so rechnen darf, wieso durfte ich das bei der oben diskutierten Aufgabe nicht anwenden?

Nächste Aufgabe habe ich selbst noch nicht richtig lösen können:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac {2^{n}-5^{n+1}}{2^{n+1}+5^{n+2}} = \frac {2^{n}-5^{n}*5}{2^{n}*2+5^{n}*5*5} = \frac {2^{n}}{2^{n}*2+5^{n}*5*5}-\frac{5^{n}*5}{2^{n}*2+5^{n}*5*5} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich dann gekürzt, dann kommt $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2+5^{n}*5*5}-\frac{1}{2^{n}*2+5} \end{eqnarray*}$

n strebt gegen unendlich und dann bleibt noch $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2}-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ übrig, das ergibt 3/10, jedoch nicht -1/5, welches das Ergebnis sein sollte... falscher Ansatz?

letzte Aufgabe, die ich nur kurz anreißen möchte, weil ich mir nicht ganz sicher bin, ob das so richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}}) \end{eqnarray*}$
n strebt gegen unendlich, daher werden alle Brücher unendlich klein und man summiert nur Nullen auf? Ein Summenzeichen gibt es ja nicht, n durchläuft nicht die Palette der natürlichen Zahlen, also ist das richtig, dass der Grenzwert hier 0 beträgt?

Dies soll nicht als gespamme aufgefasst werden, lediglich eine kleine Überprüfung für einen aufstrebenden kleinen Mathematiker Gott

Gott

11.01.2009, 19:09

tmo

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Zitat:

Original von IrMel
Der Taschenrechner bestätigt meine Rechnung, aber wenn ich das hier so rechnen darf, wieso durfte ich das bei der oben diskutierten Aufgabe nicht anwenden?

Wie hilft dir denn der Taschenrecher bei solchen Aufgaben?

Es ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^4} = \left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{n^2} \leq \left( \frac{1}{2}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n. Was folgerst du daraus?

11.01.2009, 19:18

IrMel

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Taschenrechner sagt mir für n=999 ergibt das 0,99603..., also ~1

den Schritt nach dem Gleichheitszeichen habe ich nicht nachvollziehen können, wieso darfst du $\begin{eqnarray*} (1-\frac {1}{n^{2}})^{n^{2}} \leq \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben?

sollte das stimmt, bedeutet das, dass der Term 0 wird.

11.01.2009, 19:20

IrMel

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Taschenrechner sagt mir für n=999 ergibt das 0,99603..., also ~1

den Schritt nach dem Gleichheitszeichen habe ich nicht nachvollziehen können, wieso darfst du $\begin{eqnarray*} (1-\frac {1}{n^{2}})^{n^{2}} \leq \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben? wenn n groß wird, dann steht da quasi 1-0 und das dann ^n ist immernoch 1.

sollte das stimmen, bedeutet das, dass der Term 0 wird.

(sry für Doppelpost, habe ich nicht bemerkt)

11.01.2009, 19:25

tmo

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Zitat:

Original von IrMel
den Schritt nach dem Gleichheitszeichen habe ich nicht nachvollziehen können, wieso darfst du $\begin{eqnarray*} (1-\frac {1}{n^{2}})^{n^{2}} \leq \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben?

Das konvergiert bekanntermaßen gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ , ist also irgendwann auf jeden fall kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 19:36

IrMel

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also $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n²})^{n²} = \frac {1}{e^{2}} = \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

stünde hier ein +, anstatt dem -, wäre es dann $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$

und dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} = \frac {1}{2,71...} \leq \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Dann ist also meine Rechnung falsch, denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac {n²-1}{n²})^{n^{4}} \end{eqnarray*}$ strebt gegen 1, also sagt zumindest mein Taschenrechner, und ich hoffe ich habe mich nicht vertippt...

11.01.2009, 19:47

tmo

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Zitat:

Original von IrMel
also $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n²})^{n²} = \frac {1}{e^{2}} = \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$

Das ist doch Unsinn. Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \right)^{n^2} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .
Das folgt direkt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n} \right)^{n} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von IrMel
Dann ist also meine Rechnung falsch, denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac {n²-1}{n²})^{n^{4}} \end{eqnarray*}$ strebt gegen 1, also sagt zumindest mein Taschenrechner, und ich hoffe ich habe mich nicht vertippt...

Du hast dich sicherlich vertippt, denn z.b. schon für n = 4 ergibt sich der Folgenwert $\begin{eqnarray*} \left(\frac{8}{9}\right)^{81} < 10^{-4} \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 19:47

AD

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Zitat:

Original von IrMel
denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac {n²-1}{n²})^{n^{4}} \end{eqnarray*}$ strebt gegen 1, also sagt zumindest mein Taschenrechner

Dann hast du jetzt gelernt, dass man einem Taschenrechner nicht blind vertrauen kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder du kennst dich mit deinem TR nicht richtig aus und hast beispielsweise sinngemäß

$\begin{eqnarray*} \left( \left( \frac {n^2-1}{n^2} \right)^n \right)^4 \end{eqnarray*}$

eingetippt, was dann wirklich zu Grenzwert 1 führen würde. Teufel

Teufel

11.01.2009, 20:03

IrMel

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von IrMel
also $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n²})^{n²} = \frac {1}{e^{2}} = \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$

Das ist doch Unsinn. Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \right)^{n^2} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .
Das folgt direkt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n} \right)^{n} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber ich habe doch das gleiche da stehen, wie du. Oder ist es nur Blödsinn, weil ich kein Limes bei mir stehen habe? btw. vertippt hast du dich auch: nicht n=4 sondern n=3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber danke euch beiden, als grade Frischabiturient ist das alles noch sehr neu und in der Schule rechnet man nahezu nie mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , wusste bis vor dem Studium gar nicht, dass es die als Zahl $\begin{eqnarray*} (e=2,71...) \end{eqnarray*}$ überhaupt gibt. Ich kannte nur die e-Funktion. Also danke für die vielen hilfreichen Tipps und Erklärungen =)

11.01.2009, 20:07

tmo

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Zitat:

Original von IrMel
Aber ich habe doch das gleiche da stehen, wie du. Oder ist es nur Blödsinn, weil ich kein Limes bei mir stehen habe?

Du hast da stehen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^2}=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ und behauptest dann auch noch, das wär das gleiche, was ich geschrieben hätte unglücklich

unglücklich

Und auch, dass da kein limes steht, ist ein schwerwiegender formaler Fehler.

Zitat:

Original von IrMel
btw. vertippt hast du dich auch: nicht n=4 sondern n=3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das stimmt.

Hast du diese Aufgabe denn jetzt verstanden? Dass dann 0 der Grenzwert ist, stimmt ja. Wenn du es verstanden hast, könnten wir zu den nächsten beiden Aufgaben übergehen. Da gibt es auch noch einiges zu klären Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2009, 09:11

IrMel

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ja, ich denke ich habe es verstanden,
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac {1}{e})^{n^{2}} \end{eqnarray*}$ strebt gegen null, weil eine Zahl 0<x<1 ins Unendliche potenziert(?) wird, gegen Null strebt.

Habe jetzt verstanden, dass $\begin{eqnarray*} \frac {1}{e^{2}} \neq \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$ ist. Aber die Exponentialfunktion quadriert ergibt doch wieder die Exponentialfunktion, oder? Mir schwebt da so etwas vor, ich meine das in der Schule so gelernt zu haben.

Ich fasse nochmal zusammen, n² ausgeklammert, gekürzt, soweit war es richtig. Dann aber $\begin{eqnarray*} n^{4} \end{eqnarray*}$ aufteilen und $\begin{eqnarray*} e^{n^{2}} \end{eqnarray*}$ erhalten, das dann gegen 0 streben lassen. Ich denke, ich hab's verstanden.

Was gibt es zu den nächsten Aufgaben zu sagen?

12.01.2009, 09:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von IrMel
Aber die Exponentialfunktion quadriert ergibt doch wieder die Exponentialfunktion, oder?

Mit Exponentialfunktion hat das hier nichts zu tun. Es wird einfach eine Zahl quadriert. Fertig.

12.01.2009, 09:30

IrMel

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danke, das habe ich verstanden.

12.01.2009, 14:12

tmo

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Gehen wir mal zu dieser hier über:

Zitat:

Original von IrMel

Nächste Aufgabe habe ich selbst noch nicht richtig lösen können:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac {2^{n}-5^{n+1}}{2^{n+1}+5^{n+2}} = \frac {2^{n}-5^{n}*5}{2^{n}*2+5^{n}*5*5} = \frac {2^{n}}{2^{n}*2+5^{n}*5*5}-\frac{5^{n}*5}{2^{n}*2+5^{n}*5*5} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich dann gekürzt, dann kommt $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2+5^{n}*5*5}-\frac{1}{2^{n}*2+5} \end{eqnarray*}$

n strebt gegen unendlich und dann bleibt noch $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2}-\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ übrig, das ergibt 3/10, jedoch nicht -1/5, welches das Ergebnis sein sollte... falscher Ansatz?

Deine Umformung in die 2 Brüche ist ja ok und macht durchaus Sinn, aber was danach kommt, hat nichts mit Mathematik zu tun unglücklich

unglücklich

Du kürzt da aus Differenzen und Summen und aus den falschen Termen, die du dann erhältst, zauberst du Grenzwerte hervor, die mit den Termen nichts mehr zu tun haben. Wenn das Kürzen nämlich wirklich so richtig gewesen wäre, wäre der Grenzwert beider Summanden 0.

Also fang noch mal beim Kürzen an. Und kürze konsequent so:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c}=\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

12.01.2009, 15:05

IrMel

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Also wenn ich deine Formel benutze, kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{2^{n}*2}{2^{n}}+\frac{5^{n}*5*5}{2^{n}}}-\frac{1}{\frac{2^{n}*2}{5^{n}*5}+\frac{5^{n}*5*5}{5^{n}*5}} \end{eqnarray*}$

aber das hilft mir nicht weiter, ich darf ja immernoch nicht weiter kürzen

12.01.2009, 15:25

tmo

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Jetzt kannst du doch wohl weiter umformen...

Weiter kürzen und die Potenzgesetze verwenden.

12.01.2009, 15:52

IrMel

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Ich steh auf dem Schlauch, wenn ich weiter kürze, dann komm ich wieder auf das selbe Ergebnis wie vorhin.

12.01.2009, 15:55

tmo

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Wie hast du denn weiter gekürzt?

12.01.2009, 15:58

IrMel

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unter dem großen Bruchstrich habe ich 2^n gekürzt bei dem linken Term, oder was muss ich da kürzen?

12.01.2009, 16:10

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{2^n \cdot 2}{2^n}+\frac{5^n \cdot 5 \cdot 5}{2^n}} = \frac{1}{2+25\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^n} \end{eqnarray*}$

Das sollte man als Abiturient (bzw. als Zehntklässler) selbst können.

Gegen was konvergiert das nun?

12.01.2009, 19:23

IrMel

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So ähnlich hatte ich das vorhin gerechnet, nur hatte ich dann einen Knick im Denken. Das strebt gegen 0, denn der Nenner wird unendlich groß, da tut das +2 nichts. Also bleibt nurnoch der 2. Term übrig und da gehe ich mal davon aus, dass da $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ rauskommt. Ich probier's gleich mal aus.

12.01.2009, 19:34

IrMel

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Dann kürze ich und bekomme raus:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\frac{2^{n}*2}{5^{n}*5}+\frac{5^{n}*5*5}{5^{n}*5}} = -\frac{1}{(\frac{2}{5})^{n}*(\frac{2}{5})+\frac{5}{1}} \end{eqnarray*}$

Der linke Teil strebt dann gegen 0 und somit bleibt noch $\begin{eqnarray*} -\frac {1}{5} \end{eqnarray*}$ übrig. =) Danke tmo

12.01.2009, 21:57

tmo

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Das ist jetzt richtig. Also zur letzten Aufgabe.

Deine Argumentation stimmt nicht, da man sehr wohl unendlich viele Glieder aufsummiert.

Es geht um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{i}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n-1} i \end{eqnarray*}$

Stichwort: Gaußsche Summenformel.

13.01.2009, 15:06

IrMel

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Übungsblatt ist zwar schon abgegeben, aber ich möchte trotzdem gerne wissen, warum meine Argumentation falsch gewesen ist? Die Argumentation mit der Gaußschen Summenformel leuchtet mir ein, aber warum kann man nicht sagen, dass man unendlich viele Brücke aufsummiert, die allesamt gegen 0 streben?

13.01.2009, 15:14

tmo

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Dann wäre ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \overbrace{\frac{1}{n} + \dotsb + \frac{1}{n}}^{n \text{ Summanden}}= 0 \end{eqnarray*}$

weil man unendlich viele Summanden addiert, die gegen 0 konvergieren...

Aber es ist doch offensichtlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \overbrace{\frac{1}{n} + \dotsb + \frac{1}{n}}^{n \text{ Summanden}}= \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} 1=1 \end{eqnarray*}$

Du hast hier wieder missachtet, dass alle n, die vorkommen gleichzeitig größer werden. D.h. wenn die Summanden immer kleiner werden, werden es aber auch immer mehr, sodass sich das letztendlich ausgleicht.

Natürlich gibt es auch Fälle, wo die Summanden "schneller kleiner werden als sie sich vermehren":

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \overbrace{\frac{1}{n^2} + \dotsb + \frac{1}{n^2}}^{n \text{ Summanden}}= 0 \end{eqnarray*}$

14.01.2009, 09:31

IrMel

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Hmm aber das ist es doch, was in meiner Aufgabe der Fall ist, $\begin{eqnarray*} \frac {i}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ , da werden die Summanden doch schneller kleiner, wie du geschrieben hast. Oder ist das nicht der Fall, weil der Zähler steigt?

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