allgemeine Logikfrage (Berechnung Varianz)

13.01.2009, 22:08	michi89	Auf diesen Beitrag antworten »
allgemeine Logikfrage (Berechnung Varianz) Hallo folgende vereinfachte Aufgabe 2 Schüler sind 19 Jahre 3 Schüler sind 18 Jahre insgesamt also 5 Schüler mit einem Altersdurchschnitt von 18,4 Jahren Varianz: $\begin{eqnarray} V= \frac{2(19-18,4)²+3(18-18,4)²}{5}=0,24 \end{eqnarray}$ Varianz in Kurzform gerechnet: $\begin{eqnarray} V= \frac{219²+218²}{5}-18,4²=0,24 \end{eqnarray}$ man sieht also das bei der Kurzform das selbe Ergebnis wie bei der oberen Form rauskommt. Nehme ich jetzt mal an der Altersdurchschnitt ist 17 (nicht schreien , es geht hier nur um die Rechnung) dann $\begin{eqnarray} V= \frac{2(19-17)²+3(18-17)²}{5}=2,2 \end{eqnarray}$ ok jetzt die Kurzform $\begin{eqnarray} V= \frac{219²+218²}{5}-17²=49,8 \end{eqnarray}$ Warum sind die 2 Ergebnisse verschieden? Die Rechnung mit der Kurzform müsste ja nach Beispiel eins genau 2,2 ergeben und nicht 49,8. Ich kann mir das nicht erklären.... edit Ich habe nochmal versucht die oben beschrieben Rechnungen in eine allgemein gültige Form zu bringen: $\begin{eqnarray} \frac{a_1(n_1-k)²+a_2(n_2-k)²+...+a_v(n_v-k)²}{a_1+a_2+...+a_v} = \frac{a_1n_1²+a_2n_2²+...+a_vn_v²}{a_1+a_2+...+a_v}-k² \end{eqnarray*}$ Wahr oder Falsch? und wenn Falsch warum ist die Rechnung in Beispiel Nr.1 richtig oder umgekehrt Nach meinen Überlegungen wird die oben aufgestellte allgemein gültige Formel nur dann bestätigt wenn ein Mittelwert (k) exakt ausgerechnet wird. Das heißt im Umkehrschluss, dass diese Formel nur auf die Varianz in der Stochastik zutrifft Das ist alles sehr komisch.
15.02.2010, 12:40	Peter188888	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz Irre ich mich oder hast du einfach eien falsche Transformation vorrausgesetzt? (a-b)² = a²-2ab+b² und nicht wie du es glaube ich getan hast =a²-b²
15.02.2010, 14:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz Der Verschiebungssatz rechtfertigt das. Die Rechnung von michi89 stimmt, aber natürlich nur, wenn k der Mittelwert der n_i ist. (michis letzte Gleichung ist algebraisch gesehen NICHT allgemeingültig; k muss eine Bedingung erfüllen.) Die Rechnungen oben mit dem fiktiven Mittelwert 17 werden zum selben Ergebnis kommen, wenn dafür gesorgt wird, dass 17 wirklich der Mittelwert ist, z.B. indem man einen 6. Schüler im Alter 10 mitrechnet.

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