Grenzwertbestimmung

14.01.2009, 20:16

Zoidberg12

Grenzwertbestimmung

Hallo,

bei folgendem Grenzwert habe ich Probleme:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \frac{\ln(e^x + x)}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Bei dem Bruch kann ich mit L'Hospital zeigen, dass der gegen 1 konvergiert. Jedoch weiß ich nicht, wie ich mit der Wurzel umgehen soll; mit 1/x substituieren und die Wurzeln als e-Funktionen schreiben bin ich nicht weitergekommen.

14.01.2009, 21:02

JdPL

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x^n ausklammern und Teilweise die Wurzel ziehen.

edit: Entschuldigung; So einfach ist es doch nicht...

14.01.2009, 21:20

zoidberg12

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Mit x ausklammern und dann noch mal L'Hospital hatte ich auch schon versucht, dann hatte ich allerdings ziemlich lange Terme, die mich nicht weiterbrachten.

14.01.2009, 22:42

JdPL

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Also zur 2. Wurzel meine ich herausgefunden zu haben, dass der Grenzwert einer Quadratwurzel vom konstanten Teil unabhängig ist:
sqrt((x+a)^2-b^2)=x+a

und die zweite Formel kann man auf
sqrt((x+(1/2))^2-sqrt(-3/4)) umformen. Damit ist der Grenzwert von der Quadratwurzel x+(1/2) (Bestätigt von Derive)

Beweisen kann ich es allerdings nicht. traurig

14.01.2009, 23:37

Rank Xerox

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RE: Grenzwertbestimmung
Folgende Idee:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-x\right)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(e^x+x)}{x} \end{eqnarray*}$ zieht so rasant gegen 1, daß er am Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$ nichts ändert.

Das wäre dann allerdings noch formal abzusichern.

Insgesamt geht das Ding dann gegen -1/6.

15.01.2009, 12:16

tmo

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Berechne mal $\begin{eqnarray*} \frac{a^3-b^3}{a-b} \end{eqnarray*}$ mit Polynomdivision und wende das Ergebnis hier an.

25.03.2009, 18:27

Asics

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RE: Grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von Rank Xerox
Folgende Idee:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-x\right)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf? Und ich verstehe auch tmo's Ansatz nicht, bei der PD kommt a²+ab+b² raus und das kann ich die Quadratwurzel und einen Teil der 3.Wurzel ja umschreiben, aber was bringt das? unglücklich

25.03.2009, 20:28

Frank Xerox

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RE: Grenzwertbestimmung
Na ja,
es gilt sogar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[n]{\sum_{k=0}^n~x^n}-x\right)=\frac1n. \end{eqnarray*}$

25.03.2009, 20:30

Frank Xerox

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RE: Grenzwertbestimmung
Na ja,
es gilt sogar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\left(\sum_{k=0}^n~x^n\right)^{\frac1n}-x\right)=\frac1n. \end{eqnarray*}$

25.03.2009, 21:13

Asics

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Zitat:

Original von Frank Xerox
Na ja,
es gilt sogar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\left(\sum_{k=0}^n~x^n\right)^{\frac1n}-x\right)=\frac1n. \end{eqnarray*}$

Du meinst aber das oder?:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\left(\sum_{k=0}^n~x^k\right)^{\frac1n}-x\right)=\frac1n. \end{eqnarray*}$

und dann muss ich wieder fragen wie du darauf kommst unglücklich

Vermutet man das einfach und beweist es dann oder gibts dafür eine anschauliche Erklärung?

26.03.2009, 09:59

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Asics
Du meinst aber das oder?:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(\left(\sum_{k=0}^n~x^k\right)^{\frac1n}-x\right)=\frac1n. \end{eqnarray*}$

Oh ja, natürlich meinte ich das so. Sorry.

Diese Aussage bedarf natürlich eines strengen Beweises um sie zu benutzen.
Aber Du brauchst hier ja "nur" die Spezialfälle n=2 und n=3.

26.03.2009, 10:06

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Der Beweis ist so schwierig nicht: Naheliegend geht er über die Wurzelreihe

$\begin{eqnarray*} (1+t)^{\alpha} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{\alpha}{j} t^j \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ oder aber auch elementar mit der (erweiterten) Idee von tmo

$\begin{eqnarray*} a^n-b^n = (a-b)\sum_{j=0}^{n-1} a^kb^{n-1-j} \end{eqnarray*}$ .

27.03.2009, 00:53

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hi zusammen,

dieser ansatz, als alternative :

$\begin{eqnarray*} x^3 +x^2 +x^1+1 =\sum_{k=0}^n~x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} = \frac{x^{4}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 +x^1+1 = \frac{x^{3}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

grüße

_t

27.03.2009, 11:23

Frank Xerox

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Zitat:

Original von t_
hi zusammen,

dieser ansatz, als alternative :

$\begin{eqnarray*} x^3 +x^2 +x^1+1 =\sum_{k=0}^n~x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} = \frac{x^{4}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 +x^1+1 = \frac{x^{3}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

grüße

_t

Wozu soll das eine Alternative sein?

Arthur Dent und auch tmo haben doch genau diesen Ansatz (wenn auch allgemeiner) schon erwähnt. Nämlich:

$\begin{eqnarray*} a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k} \end{eqnarray*}$ .

27.03.2009, 20:03

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Hallo Franz Xerox,

weder tmo noch arthur dent haben den ansatz einer geometrischen summe vorgeschlagen, also habe ich das alternativ zur betrachtung vorgeschlagen.

grüße

_t

27.03.2009, 20:06

Asics

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Zitat:

Original von _t
Hallo Franz Xerox,

weder tmo noch arthur dent haben den ansatz einer geometrischen summe vorgeschlagen, also habe ich das alternativ zur betrachtung vorgeschlagen.

grüße

_t

Sieht für mich auch gleich aus, als vom Ansatz her.
Ich versteh nur nicht wie ich danach weiter mache, die Umformung ist mir klar aber danach weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, hab dann ein paar Umformungen gemacht aber keinen Weg gefunden den Grenzwert zu finden.

Muss dazu sagen das ich Mathe nicht studiere und mich erst seit einigen Wochen dafür interessiere, weil der Zivi so langweilig ist. Es kann also sein das ich gewisse Kriterien nicht kenne, oder einfach zu blöd bin.

27.03.2009, 20:29

Frank Xerox

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Zitat:

Original von _t
Hallo Franz Xerox,

weder tmo noch arthur dent haben den ansatz einer geometrischen summe vorgeschlagen, also habe ich das alternativ zur betrachtung vorgeschlagen.

grüße

_t

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k}. \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} a:=x, b:=1 \ \mbox{und} \ n+1 \ \mbox{statt} \ n \end{eqnarray*}$ wird daraus:

$\begin{eqnarray*} x^{n+1}-1 = (x-1)\sum_{k=0}^n x^k. \end{eqnarray*}$

Fällt Dir was auf...? Augenzwinkern

27.03.2009, 21:17

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hi zusammen,

dann ist es der "gleiche" ansatz, wenn dass das thema entgültig erledigt.

grüße

_t

27.03.2009, 21:20

Frank Xerox

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Um hier zum Ziel zu kommen musst Du mit diesem Ansatz (ob Du ihn nun Polynomdivision, geom. Reihe oder wie auch immer nennst) etwas anders umgehen. Für den Fall (n=3) schreib ich mal was auf:

Sei: $\begin{eqnarray*} S_3(x):=\left(\sum_{k=0}^3~x^k\right)^{1/3}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{Wegen} \ (a-b)=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} \ \mbox{folgt mit} \ a:=S_3(x) \ \mbox{und} \ b:=x \ \mbox{nun:} \\ \\ S_3(x)-x=\frac{x^2+x+1}{(S_3(x))^2+S_3(x)x+x^2}=\underbrace{\frac{1+\frac1x+\frac{1}{x^2}}{2\left(1+\frac1x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^{1/3}+1}}_{\longrightarrow\frac13 \ \mbox{für} \ n\to\infty}. \end{eqnarray*}$

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