echter Normalteiler

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ratefuchs Auf diesen Beitrag antworten »
echter Normalteiler
Hi!

Ich hätte mal eine Frage zu einer Aufgabe: Sei eine ungerade Zahl und eine Gruppe der Ordnung . Dann gibt es einen echten Normalteiler von vom Index 2.

Ich hatte folgenden Ansatz, komme aber nicht weiter:
Das Urbild eines Normalteilers unter einem Homomorphismus ist ja wieder ein Normalteiler. Wenn man dann den Homomorphismus betrachtet, und man weiß, dass ein Normalteiler von ist, hätte man ja zumindest einen Normalteiler in gefunden.

Die Abbildung kann ich dann ja definieren als (also in Worten: g wird auf die Permutation abgebildet, die g auf xg abbildet).

Ist die Idee richtig? Falls ja fehlt mir ja nur noch ein Argument, warum dieser Normalteiler nicht trivial und nicht ganz G ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Zitat:
Original von ratefuchs
Die Abbildung kann ich dann ja definieren als (also in Worten: g wird auf die Permutation abgebildet, die g auf xg abbildet).

Du meinst wird abgebildet auf die Permutation ? Oder wird abgebildet auf , aber deine Beschreibung stimmt nicht.

Jeder Permutation aus der symmetrischen Gruppe der Ordnung kann man ja ein Signum zuordnen. Diese Zuordnung ist ein Homomorphismus von nach . Zusammen mit deiner Abbildung induziert das einen Homomorphismus . Betrachte nun den Normalteiler und begründe, warum surjektiv ist.
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