Eigenwerte |
| 15.01.2009, 16:42 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenwerte sei ein polynom, und f:V->V ein endormorphismus mit der eigenschaft, dass der endormorphismus die nullabbildung V->V, x->0 ist. ich soll beweisen, dass dann jeder eigenwert von h eine wurzel von P(Q) ist. könnt ihr mir helfen, danke im voraus |
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| 15.01.2009, 16:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Variablen klären. Was sind denn Q und h. Aus welchen Mengen /Körpern stammen sie? Und wo taucht hier f eigentlich wieder auf? 
Blind geraten würde ich ansonsten schon mal so was wie Satz von Cayley Hamilton in den Raum werfen....
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| 15.01.2009, 16:58 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bisschen umgeformt hatte ich es, so besser |
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| 15.01.2009, 17:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f ist nun ein Endomorphismus? Und P ist ein annulierendes Polyom. Was sagt das über die Beziehung von P und f aus? Was ist nun T? |
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| 15.01.2009, 17:15 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was heisst eigentlich annulierendes polynom, das höre ich zum ersten mal? wie was ist jetzt T, wir haben dieses T immer benutzt um das charakteristische polynom zu bestimmen? |
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| 15.01.2009, 17:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lol. Ich frage nach Variablen, für WAS sie stehen und du machst aus Q einfach ein T. Das bringt mich doch keinen Schritt weiter. 
annulierend bedeutet, dass wenn ich hier f einsetze, die Nullfunktion rauskommt. Was passiert wenn man einen Endomorphismus, in sein charakteristisches Polynom einsetzt? |
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| 15.01.2009, 17:40 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eigentlich war es in der aufgabenstellung auch T, kann ich deine frage auch zu: wie findet man die eigenwerte T einer linearen Abbildung f:V->V, umformen? |
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| 15.01.2009, 17:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, auf die Frage gibt es erstmal eine klare Antwort. (Satz von Cayley Hamilton) Nochmal, was soll T sein? Eine Matrix? |
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| 15.01.2009, 19:29 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wir haben das nicht definiert, das ist dasselbe wie hier das wir haben das nur als geschrieben |
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| 15.01.2009, 19:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie viele Variablen den noch? Also ein EIGENWERT von f? |
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| 15.01.2009, 19:38 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
in meiner aufgabe gibt es nur die Variablen f, T ja T ist eigenwert, das hatte ich auch vorhin geschrieben |
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| 15.01.2009, 19:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, wie lautet denn nun endlich mal das Ergebnis des Satzes von Cayley Hamilton? |
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| 15.01.2009, 20:37 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Satz von Cayley Hamilton besagt,dass jede quadratische matrix nullstelle ihres charakteristischen polynoms ist |
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| 15.01.2009, 21:12 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gegeben ist hier ein Polynom P: Wir wissen, dass wenn wir den Endomomorphismus f einsetzen, wir die Nullfunktion erhalten. Sei nun t ein Eigenwert von f. Das bedeutet für einen Vektor v aus V: Du sollst nun zeigen, dass P(t) =0 gilt, also jeder Eigenwert von f eine Nullstelle (Wurzel) von P ist. Cayley Hamilton zeigt dir ja im Beispiel, was gemeint. Ist. P wäre da das charakteristische Polynom, und t ist dann ja bekanntlich eine Nullstelle davon. Hier ist es die umgekehrte Richtung. Nur zur Verdeutlichung, dass P nicht das char.Polynom sein muss, es gibt ja z.B. noch das Minimalpolynom mir der gleichen Eigenschaft. Damit sollten die Variablen geklärt sein, siehe meine erste Überschrift. Ich hab für heute fertig. 
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| 15.01.2009, 23:09 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe mal ne kurze frage bevor ich zu dem beweis übergehe oder versuche es zu machen, ich habe irgendwo, weiss nicht mehr wo etwas gelesen, ich weiss aber nicht ob es stimmt, gibt es ein charakteristisches polynom O(T) von f, das ein Teiler von P(T) ist??, d.h., das es ein h(T) in K[T] existiert? oder ist das schwachsinn? |
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| 15.01.2009, 23:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst wohl das Minimalpolynom.
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| 15.01.2009, 23:54 | joopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn man das hier anwenden darf, habe so paar überlegungen dann, bin mir aber nicht sicher: wie oben dann schon gesagt, dass charakteristische polynom Q(T) ist von f ein Teiler von P(T), d.h., dass es dann ein p(T) in K[T] existiert, sodass gilt: P(T)=p(T)*Q(T) und somit dann P(f)=p(f)*Q(f). ist dass so richtig
, wenn ja wie kann ich dann weiter machen ? |
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