Körperautomorphismen

Neue Frage »

17.01.2009, 17:11	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperautomorphismen Hallo zusammen, mich beschäftigt eine gewisse Ratlosigkeit bei folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} k=\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}). \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass jeder Körperautomorphismus $\begin{eqnarray} \phi:k\rightarrow k \end{eqnarray}$ die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ fest lässt. Bestimmen Sie alle Körperautomorphismen von k sowie die Multiplikationstabelle der Gruppe der Körperautomorphismen. Ich kann mir bereits nicht genau vorstellen, was mit festlassen gemeint ist. Soll das heißen die bleiben unter diesem Automorphismus unverändert? Wieso sollte das so sein? Kann ich nicht einen komplizierteren finden, der dies nicht tut aber trotzdem ein Körperautomorphismus ist? Wenn nein, wieso nicht? Also wie könnte ich hieran gehen? Vielen Dank für eure Hilfe
17.01.2009, 18:02	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körperautomorphismen Du wirst sicherlich zumindest zwei gewisse Elemente aus dem Körper angeben können, die unter jeden Automorphismus festbleiben (richtig, das bedeutet $\begin{eqnarray} \phi (a)=a \end{eqnarray}$ ). Diese gibt es übrigens in jedem Körper. Nun benutze zuerst die Additivität von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ auch alle ganzen Zahlen festlässt; mit der Multiplikativität sieht man dann, dass auch alle rationalen Zahlen vom Automorphismus nicht verändert werden. Dies gilt übrigens für jeden beliebigen Erweiterungskörper von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , die beiden adjungierten Wurzeln sind hierfür noch nicht von Bedeutung.
18.01.2009, 16:22	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, okay, dann sieht das ganze schon ein bisschen ideenreicher aus: Ich würde meinen, die beiden Elemente die auf jeden Fall fest bleiben sind die 0 und die 1. Dann hab ich über die Additivität: $\begin{eqnarray} \phi (1)=1 \\ \phi (n)=\phi (1)+\phi (1) ....(n-mal)=n \end{eqnarray}$ also bleiben die ganzen Zahlen fest. $\begin{eqnarray} \phi (\frac{a}{b})=\phi (a\cdot b^{-1})=\phi (a) \cdot \phi (b^{-1})=a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b} \end{eqnarray}$ Also bleiben alle rationalen Zahlen fest. Hab ich nicht jetzt auch, wenn auch "aus Versehen" gezeigt, dass es nur diesen Automorphismus, also die Identität gibt? Was erwartet man denn dann für eine Multiplikationstabelle noch von mir? Danke sehr schon mal
18.01.2009, 16:31	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ gibt es aber weitere Elemente, die Du noch nicht betrachtet hast. So muss $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ (irrational!) nicht unbedingt wieder auf $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ abgebidlet werden, es gibt noch eine weitere Möglichkeit.
18.01.2009, 17:01	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich die Adjunktion mit zwei Elementen denn richtig: $\begin{eqnarray} r=a+b\sqrt{2} +c\sqrt{3},\ mit\ a,b,c\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ dann gäbe es doch noch die Möglichkeit, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ vertauscht werden nicht wahr? Danke
18.01.2009, 17:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Darstellung der Körperelemente ist so noch nicht vollständig, da beispielsweise das Element $\begin{eqnarray} \sqrt{6}\in k \end{eqnarray}$ nicht dargestellt werden kann. Es gilt $\begin{eqnarray} k=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\big\|a,b,c,d\in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray}$ Das Vertauschen von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ geht ebenfalls nicht, da ja sonst $\begin{eqnarray} 2=\phi (2)=\phi(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=\phi(\sqrt{2})\cdot\phi (\sqrt{2})=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3 \end{eqnarray}$ wäre, hiermit kannst Du aber sehen, welches die einzig möglichen Bilder von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ sind.
Anzeige

18.01.2009, 18:41	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich hab noch nicht genau verstanden wieso auch $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \end{eqnarray}$ ein Element ist? Liegt vermutlich auf der Hand, aber irgendwie qualmt auch mein Kopf grad schon... Die einzigen möglichen Bilder sind dann $\begin{eqnarray} \phi (\sqrt{2}=\sqrt{2}\ oder \ \phi (\sqrt{2}=-\sqrt{2} \end{eqnarray}$ richtig? entsprechendes auch für $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ ...hab ich dann in der automorphismengruppe 4 elemente? Nur mal um zu sehen ob ich auf dem richtigen weg bin grad? Danke
18.01.2009, 18:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ liegen, dann ja auch ihr Produkt - ein Körper ist schließlich multiplikativ abgeschlossen. Als Kombination der Form $\begin{eqnarray} \sqrt{6}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} \end{eqnarray}$ kann man das aber nicht darstellen. (Sieht man, wenn man die Gleichung quadriert) Die Automorphismen sind übrigens korrekt, entsprechend auch die Ordnung der Automorphismengruppe. Die Gruppentafeln sollten dann ja auch keine so große Hürde mehr sein.
18.01.2009, 19:11	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, dann versuch ich mich mal an den Tafeln...aber wohl nicht mehr heute....das mit dem Produkt in einem Körper war schon zu peinlich :-) Danke vielmals Lg Problemfinder
19.01.2009, 18:38	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Sooo....hallo nochmal, zur Aufgabe: Ich hab ja gezeigt, dass jeder Körperautomorphismus alle Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ festlässt. Als Automorphismen habe ich dann: $\begin{eqnarray} q\rightarrow q \ \forall \ q \in \mathbb Q \ sowie \\ \phi_1: \phi_1(\sqrt{2})=\sqrt{2},\ \phi_1(\sqrt{3})=\sqrt{3} \\ \phi_2: \phi_2(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\ \phi_2(\sqrt{3})=\sqrt{3} \\ \phi_3: \phi_3(\sqrt{2})=\sqrt{2},\ \phi_3(\sqrt{3})=-\sqrt{3} \\ \phi_4: \phi_4(\sqrt{2})=-\sqrt{2}, \ \phi_4(\sqrt{3})=-\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Das sind dann alle Körperautomorphismen von k. zur Multiplikationstabelle, ist vielleicht hier etwas blöd zu lesen....aber hoffe es geht. $\begin{eqnarray} \phi_1 o \phi_i=\phi_i \\ \phi_i o \phi_i = \phi_1 \forall \ i \in {1,2,3,4} \\ \phi_2 o \phi_3 =\phi_4 \\ \phi_3 o \phi_4=\phi_2 \\ \phi_2 o \phi_4=\phi_3 \end{eqnarray}$ Hoffe hab an alle gedacht, das ganze ist kommutativ..denke nicht das ich das extra zeigen muss, muss ja nur die Tafel aufstellen. Ist das so richtig? Vielen dank noch einmal
19.01.2009, 19:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus! Anmerkung: Die Automorphismengruppe ist dann isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.
23.01.2009, 11:12	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank auch hier für deine Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Körperautomorphismen

Verwandte Themen