Beweis; Punkte und Ebenen im Raum

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flying997 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis; Punkte und Ebenen im Raum
Hi,

ich habe hier eine Fragestellung, die ich irgendwie beweisen muss. Leider fehlt mir der Ansatz. unglücklich Die Aufgabe lautet:

Im Raum sind 4 Punkte gegeben, die nicht in einer Ebene liegen. Wieviele Ebenen gibt es, die von diesen Punkten den gleichen Abstand haben?

Die Lösung müsste "4 Ebenen" sein. Analytische Geometrie soll zum Beweis allerdings nicht gebraucht werden. Gibt es einen relativ "einfachen" geometrischen Ansatz? Kann man das Problem irgendwie anders ausdrücken?
Ich habe mich schon gefragt, ob man das z.B. analog über eine Dreieckspyramide zeigen kann ...
Für Hinweise, Tipps und Ideen bin ich dankbar. smile

Viele Grüße
Anika
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis; Punkte und Ebenen im Raum
4 Ebenen mit den geforderten Eigenschaften lassen sich angeben: je 3 Punkte legen eine Ebene fest und diese kannst du so parallel verschieben, bis die geforderte Abstandseigenschaft erfüllt ist. Und es gibt 4 Möglichkeiten jeweils 3 aus 4 Punkten auszuwählen.

Zu überlegen ist nun, wieso es keine weiteren dieser Ebenen gibt.

Grüße Abakus smile
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Zu überlegen ist nun, wieso es keine weiteren dieser Ebenen gibt.

Das dürfte misslingen, da es weitere solche Ebenen gibt:

Du hast die Ebenen beschrieben, wo auf einer Seite drei und auf der anderen Seite einer der vier gegebenen Punkte liegen.

Es gibt aber auch noch die Möglichkeiten, wo auf beiden Seiten der Ebene jeweils zwei der vier gegebenen Punkte liegen - Stichwort: Windschiefe


P.S.: Mit "Seiten" meine ich hier natürlich die beiden Halbräume beiderseits der Ebene.
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

cool, danke für die Antworten. smile Oh, daran habe ich gar nicht gedacht Arthur Dent. unglücklich
Wenn ich mir das jetzt so vorstelle macht es Sinn.
Ich hatte mir schon eine Dreieckspyramide gezeichnet und hatte gehofft irgendwie zeigen zu können, dass es nur die 4 Ebenen sind ...
Gibt es da einen besseren Ansatz für Windschiefe? verwirrt
Analytische Geometrie darf ich leider nicht verwenden und windschief hatte damit ja immer was zu tun .. oh je. geschockt Big Laugh
Dann überlege ich mal weiter, bin aber für jede weitere Idee oder jeden Tipp dankbar. smile
lg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

"Windschiefe" war ein Stichwort, kein Ansatz.

Es gibt 3 solche Ebenen der zweiten Kategorie - für jede Punktpaarauswahl (12,34) , (13,24) und (14,23) nämlich jeweils genau eine:

Die beiden Strecken, die die Punkte in den jeweiligen Halbräumen verbinden, müssen parallel zur gesuchten Ebene sein. Dadurch ist die Ebene schon mal richtungs-, besser gesagt normalenmäßig bestimmt. Jetzt musst du sie noch geeignet parallel verschieben, so dass die in der Aufgabe geforderte Abstandsbedingung erfüllt ist. Nach dieser Strategie kann auch die Berechnung der Ebenengleichung erfolgen, falls du die benötigst.

Summa summarum gibt es also 4+3=7 Ebenen, die der Aufgabenstellung genügen.
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal smile

Das es bei der Aufgabe nur diese 7 Ebenen gibt ist ja jetzt (und schon länger) einleuchtend. Die Ebenen der "ersten Kategorie" zeige ich mit Hilfe der Analogie zu einem beliebigen Dreieck und zeige den Satz des Seitenmittendreiecks. Weil so 4 kongruente Dreiecke entstehen ist jede Mittenparallele von einem Punkt und den anderen beiden Punkten des Dreieks gleich weit entfernt. Dies lässt sich analog auf den Tetraeder übertragen, der ja im Raum von den 4 Punkten gebildet wird.

Ich tue mich schwer mit dem beweisen der Ebenen der "zweiten Kategorie". Es gibt 3 Stück, die Strecken die jeweils 2 verbinden müssen auch parallel zur Ebene sein, weil sonst die Abstandsbedingung nicht erfüllt werden kann. Aber ich sehe nicht wie ich das beruhend auf einer Analogie, einem Satz o.ä. beweisen kann, bzw. wie ich ausschließen kann, dass es keine weiteren Ebenen mehr gibt. unglücklich

Vielleicht hat da ja noch jemand einen Tipp oder Hinweis, ich würde mich freuen. Augenzwinkern
Und nochmal danke an Arthur Dent, der mir mit dem Hinweis auf die windschiefen Ebenen einen bösen Unvollständigkeitsfehler erspart hat ... Big Laugh

lg
Anika
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich habe mein Problem noch etwas weiter bearbeitet. Ich habe mal eine Skizze eingefügt um besser zeigen zu können wo es im Moment nicht so recht weitergeht. unglücklich

Die Dreiecke AA'S und SD'D sind kongruent, weil die Strecken AA' und DD' orthogonal auf der Ebene stehen und somit parallel sind. Durch die rechten Winkel, die Wechselwinkel und die laut Voraussetzung gleich langen Strecken AA' und DD' ergibt sich das sie kongruent sind. Ich muss nur noch irgendwie zeigen, dass der Punkt S eindeutig bestimmt ist, also der dieser auf der Kante des Tetraeders liegt. Bzw. das die Punkte A'SD' kollinear sind ...

Vielleicht hat dazu jemand Tipps oder Anregungen? Augenzwinkern

Viele Grüße
Anika
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz, was du unter welchen Voraussetzungen hier jetzt nachweisen willst. Gemäß Threadthema und deiner Skizze nehme ich mal an, die braun gezeichnete Ebene soll eine der fraglichen Ebenen sein. Sie ist parallel zur Grundebene und du willst nun zeigen, dass sie durch den Mittelpunkt der Seite verläuft, oder was? Sowas musst du schon dazu sagen, wir sind doch keine Hellseher - auch wenn manche das mitunter zu glauben scheinen. Eine Skizze allein erklärt doch nicht, wie welcher Punkt definiert ist. Man könnte z.B. umgekehrt auch als Schnittpunkt der Ebene mit der Kante definieren und dann nachweisen, dass der Mittelpunkt von ist!
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

entschuldigung, unglücklich da habe ich mich wohl gestern zu der späten Stunde nicht mehr ganz klar ausgedrückt. Ich sitze schon so lange über dem Problem, so dass ich wohl viele für offensichtlich annehme. Hammer

Ich versuche das nochmal - genauer - zu beschreiben. Also wie du schon sagtest Arthur Dent ist die braune Ebene eine der gesuchten Ebenen, sie ist parallel zur Grundebene . Die Dreiecke und sind kongruent. Die Abstandsbedingung der Ebene ist erfüllt, weil die Strecken und gleich lang sind und sie orthogonal auf der Ebene stehen.
Und genau bei dem was du sagst Arthur Dent hänge ich fest. Vielleicht drücke ich mich nicht nur hier blöd aus sondern auch für mich selber ... unglücklich
Es ist ja nicht sofort offensichtlich das die Punkte , und alle auf einer Geraden liegen. Irgendwie muss ich zeigen, dass genau die Mitte der Kante ist. Die gilt ja dann für alle anderen Kanten ebenso und ich hätte eine eindeutige Begründung für die 3 Punkte die eine solche, in der Aufgabe geforderte, Ebene beschreiben ... das gilt dann ja analog für die anderen 3 Ebenen und die Begründung für die 3 "windschiefen" Ebenen wird dann ja ähnlich sein.

Ich hoffe so ist das ein wenig genauer ausgedrückt und der Knackpunkt ist deutlich.
Nochmal sorry für die ungenaue Beschreibung. unglücklich

lg
Anika
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