Beweisen einer Ungleichung

Neue Frage »

17.01.2009, 21:31	täschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen einer Ungleichung Moin Moin, mein Problem lautet: Zeige für $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray}$ größer 0, dass $\begin{eqnarray} (x_1+x_2+x_3) \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\geq 3^2 \end{eqnarray}$ gilt. Ich bin bisher bis zur folgenden Zeile gekommen: $\begin{eqnarray} x_1^2(x_2+x_3)+x_2^2(x_1+x_3)+x_3^2(x_1+x_2)-6x_1x_2x_3\ge0 \end{eqnarray}$ aber damit ist die Ungleichung ja noch nicht bewiesen. Wie könnte man weiter rechnen? Oder habe ich komplett falsch angefangen? LG
17.01.2009, 21:42	111	Auf diesen Beitrag antworten »
hy! ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, dass du falsch ausmultipliziert hast. versuchs doch mal faktor für faktor, d.h. du fängst in etwa an mit x1mal dan ganzen klammerausdruck + x2 mal klammerausdruck + x3 mal klammerausdruck. Ich weiss, das ist jetzt nicht ganz optimal, aber ich hab den taschenrechner hinzugezogen und der liefert leider auch nicht deine lösung. gruss.
18.01.2009, 07:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir mal die Mühe gemacht und habe alles per Hand ausmultipliziert, die Ungleichung stimmt so.
18.01.2009, 07:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das schreit doch sofort nach AMGM: Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mitttel. Kann man auch verallgemeinern: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^nx_i \cdot \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i} \geq n^2 \end{eqnarray}$
18.01.2009, 07:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum AMGM kann ich leider nichts sagen, hab es aber zu $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_1}{x_3} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_1} + \frac{x_3}{x_2} \ge6 \end{eqnarray}$ vereinfacht. Ob das es nun etwas bringt, weiß ich nicht. Okay, $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \end{eqnarray}$ könnte man substituieren zu $\begin{eqnarray} a + \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ . Dann hab ich eine Funktion aufgestellt $\begin{eqnarray} f(a) = a + \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ , abgeleitet, das Minimum herausgefunden bei a = 1. Also ist der kleinste Wert davon 2. Und das könnte man bei den anderen machen, also hat man dann zusammengefasst $\begin{eqnarray} 2 + 2 + 2 \ge 6 \end{eqnarray}$
18.01.2009, 08:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Halt der elementare Weg, wenn man die Ungleichung nicht kennt. Übrigens: $\begin{eqnarray} a+\frac{1}{a} = a - 2\sqrt{a}\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a} +2 = \left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+2 \geq 2 \end{eqnarray}$
Anzeige

18.01.2009, 08:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man die Ungleichung auch sofort über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung begründen, vielleicht wurde die behandelt.
18.01.2009, 10:42	täschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider haben wir diese Ungleichungen noch nicht behandelt. Aber trotzdem Danke für den Tipp.
18.01.2009, 10:52	täschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie rechnet man dann weiter bzw. kann man zeigen, dass diese Ungleichung stimmt?- Ich komme leider an der Stelle nicht weiter.
18.01.2009, 10:56	täschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso der letzte Eintrag war an IfindU gerichtet
18.01.2009, 11:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_3}{x_1} + \frac{x_1}{x_3} + \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_2} \ge6 \end{eqnarray}$ Wenn du es so vereinfachst hast, kannst du begründen, dass (I) $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \end{eqnarray}$ , (II) $\begin{eqnarray} \frac{x_3}{x_1} + \frac{x_1}{x_3} \end{eqnarray}$ und (III) $\begin{eqnarray} \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_2} \end{eqnarray}$ jeweils immer mindestens 2 ergeben müssen. Ich hab das so gemacht, dass ich es substituiert hatte und die Funktion analysiert hatte. Da war der kleinste Wert für z.B. $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 = 1 \end{eqnarray}$ . Das könnte man jetzt für alle 3 Kombinationen machen, wobei das natürlich die gleichen Funktionen wären. Ich hoffe das reicht als Begründung, warum das größer als (hier) 6 ist, denn wenn das mit dem kleinsten Wert größer/gleich 6 ist, wird es bei anderen Werten definitiv nicht kleiner, sondern größer, damit stimmt die Ungleichung.
22.01.2009, 10:18	täschi	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE, für die Tipps! Habe jetzt die Lösung!!! LG

Neue Frage »

Antworten »

Beweisen einer Ungleichung

Verwandte Themen