Bild und Kern

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Danke für die Hilfe Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern
Hi folgende Aufgabe:
V sei der lineare Raum aller Abbildungen seien definiert durch
Die lineare Abbildung erfuelle:



Bestimmen Sie Kern(g) und Bild(g).

So nun habe ich mich erstmal an das Bild gewagt:
Ich nehme einfach mal an, die drei Funktionen seien eine Basis des Bildes. Dann muss ich doch nur beweisen, dass diese drei Linear unabhängig sind und den V komplett erzeugen. Also muss ich zeigen, dass folgende Gleichung nur die triviale Lösung hat:

Das muss insbesondere auch für konkrete x-Werte gelten, also habe ich mir folgendes Gleichungssystem aufgestellt:



Das habe ich dann aufgelöst und dabei kam heraus, dass linear unabhängig sind.

So weiter weiss ich nun nicht vom Ansatz her, sowohl beim Kern als auch beim Bild. Oder ist das so für das Bild ausreichend?
Bzw. wie berechne ich das Bild bei einer solchen Aufgabe explizit? Hierbei ging ich ja davon aus, dass die gegebenen Funktionen eine Basis des Bildes wären, aber das ist ja nicht immer so.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wie kommst du zu der Annahme, die Funktionen bilden eine Basis des Bildes?
Und warum soll diese Basis dann ganz erzeugen?

Das linear unabhängig sind, sieht man sofort, wenn man die Graphen dieser Funktionen betrachtet.

Eine lineare Abbildung wird durch die Bilder einer Basis von bestimmt.
Du hast die Bilder einer Basis schon gegeben.
Ein Aufspann dieser bildet den Bildraum.

Zum Kern:

Unter welcher Voraussetzung ist der Kern denn nicht trivial?
Danke2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Eine lineare Abbildung wird durch die Bilder einer Basis von bestimmt.
Du hast die Bilder einer Basis schon gegeben.
Ein Aufspann dieser bildet den Bildraum.


Möchtest du damit sagen, dass das Bild ist? Wenn nicht, dann erkläre mir das bitte ein bisschen ausführlicher, stehe da gerade ein wenig aufm Schlauch.

Zum Kern:
Ich muss doch alle Elemente x aus finden, die g(x) = 0 ergeben. Hierbei reicht es auch eine Basis dieser Menge anzugeben.
Wenn ich zu g eine Matrix aufstellen könnte wäre das relativ einfach, dann würde ich nur die Matrix in Zeilenstufenform bringen und könnte den Kern schon fast ablesen.
Also müsste ich eine Matrix finden.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Möchtest du damit sagen, dass das Bild ist? Wenn nicht, dann erkläre mir das bitte ein bisschen ausführlicher, stehe da gerade ein wenig aufm Schlauch.



Der Aufspann dieser Vektoren, ja.

Du befindest dich im Raum der Funktionen .

Die Vektoren kann man dort wie folgt schreiben:

oder oder

Im Prinzip sind das die gleichen Vektoren, nur andere Schreibweisen.

Wichtig dabei ist, das die linear unabhängig sind, sodass man sie als Basisvektoren von verwenden kann.


Zitat:

Zum Kern:
Ich muss doch alle Elemente x aus finden, die g(x) = 0 ergeben. Hierbei reicht es auch eine Basis dieser Menge anzugeben.
Wenn ich zu g eine Matrix aufstellen könnte wäre das relativ einfach, dann würde ich nur die Matrix in Zeilenstufenform bringen und könnte den Kern schon fast ablesen.
Also müsste ich eine Matrix finden.


Mit den gegebenen Informationen sollte es dir nun möglich sein, eine Matrix aufzustellen.
Danke3...:) Auf diesen Beitrag antworten »

Schönen Dank schonmal! Ich habe das nun mal gerechnet und es hat auch soweit ganz gut geklappt, aber wäre cool wenn das nochmal jemand berichtigen könnte, danke!:




linear unabhängig sind (Beweis schenke ich mir jetzt mal)

Kern:
Nachfrage Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost, aber mir kam gerade nochmal spontan eine Frage:
Was wäre, wenn linear abhängig wären? Wie hätte man dann eine solche Aufgabe lösen können?
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dich beim Kern verrechnet.


Zitat:
Original von Nachfrage
Sorry für den Doppelpost, aber mir kam gerade nochmal spontan eine Frage:
Was wäre, wenn linear abhängig wären? Wie hätte man dann eine solche Aufgabe lösen können?


Wenn einige der Vektoren linear abhängig wären, könntest du diese als Linearkombination der anderen schreiben und so die Bilder wieder bzgl. nur linear unabhängigen darstellen.

Die Prozedur danach wäre die Gleiche, nur das man anstatt eine 3x3 Matrix eine 2x2 oder 1x1 erhält, je nachdem wie groß die Abhängigkeit ist.
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