normale, zyklische Untergruppe existiert?

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19.01.2009, 23:07	chivas	Auf diesen Beitrag antworten »
normale, zyklische Untergruppe existiert? Hallo, gegeben ist eine Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} \|G\| = 300762 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 31 \end{eqnarray}$ . Man soll zeigen, dass eine normale, zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray} C_{31} \end{eqnarray}$ existiert. Mit den Sylowsätzen bekommt man, dass es entweder 1 oder 63 Sylow-31-Untergruppen gibt. Mit Elementezählen kommt man auch nicht weiter, weil es ziemlich viele Möglichkeiten für die anderen Sylowgruppen gibt. Wie könnte man denn nun noch weiter vorgehen?
19.01.2009, 23:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe leider momentan auch keine tolle Idee. Was behandelt ihr den aktuell in der Vorlesung? Soll das alleine mit Sylowsätzen gelöst werden?!
20.01.2009, 00:10	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mit Sylowsätzen und Abzählen sehe ich keine Lösung. Meine Beweisidee: Man braucht noch $\begin{eqnarray} N_G(X)/C_G(X)\lesssim {\rm Aut}(X) \end{eqnarray}$ und man muss wissen, wie die Automorphismengruppen von zyklischen Gruppen aussehen, dann kann man sich da durchhangeln. 1. Nimmt man natürlich an, dass $\begin{eqnarray} \|G:N_G(S)\|=63 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} S\in {\rm Syl}_{31}(G) \end{eqnarray}$ 2. Zeigt man, dass eine 11-Sylowgruppe normal in $\begin{eqnarray} N_G(S) \end{eqnarray}$ und dann auch normal in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist 3. Zeigt man, dass dann auch eine 7-Sylowgruppe normal in G ist 4. Zeigt man, dass dann auch eine 31-Sylowgruppe normal in G ist
20.01.2009, 10:14	chivas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also gelte 1. Dann ist $\begin{eqnarray} \|N_G(S)\| = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 31 \end{eqnarray}$ und mit Sylow ist die 11-Sylowgrupe normal in $\begin{eqnarray} N_G(S) \end{eqnarray}$ . Die 31-Sylowgruppe in $\begin{eqnarray} N_G(S) \end{eqnarray}$ ist sowieso normal, also enthält $\begin{eqnarray} N_G(S) \end{eqnarray}$ eine zyklische $\begin{eqnarray} C_{11 \cdot 31} \end{eqnarray}$ . Die 7-Sylowgruppe operiert (per Konjugation) nur trivial auf dieser zyklischen Gruppe, also enthält $\begin{eqnarray} N_G(S) \end{eqnarray}$ sogar eine zyklische $\begin{eqnarray} C_{7 \cdot 11 \cdot 31} \end{eqnarray}$ . Hier hänge ich aber irgendwie. Sieht man damit schon, dass die 11-Sylowgruppe auch in G normal ist?
20.01.2009, 10:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} T\in {\rm Syl}_{11}(N_G(S)) \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} T\in {\rm Syl}_{11}(G) \end{eqnarray}$ Du weißt ja jetzt wie groß $\begin{eqnarray} \|N_{N_G(S)}(T)\| \end{eqnarray}$ ist und somit hast Du auch eine Mindestgröße für $\begin{eqnarray} \|N_G(T)\| \end{eqnarray}$ . Nun Sylowsatz.
20.01.2009, 22:53	chivas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja stimmt. Ich hatte mich heute morgen vertan und den Faktor 31 nicht gekürzt. Dann braucht man das mit der zyklischen Gruppe ja gar nicht. Ich fürchte aber, nochmal Hilfe zu benötigen. Sorry. Kommt jetzt die Automorphismengruppe ins Spiel? Über die 7-Sylowgruppen weiß man, dass sie abelsch sind, aber i.a. nicht zyklisch. Also hat es keinen Sinn, die 7-Sylowgruppen auf der 11-Sylowgruppe operieren zu lassen. Umgekehrt ginge es schon, die Operation wäre auch trivial, aber daraus kann ich nichts ablesen.
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21.01.2009, 01:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwo hatte ich einen Rechenfehler drin (oder ich habe ihn jetzt), aber man braucht das Wissen über die Automorphismengruppen wohl nicht. Nichtsdestotrotz ist es immer gut sich dieses Wissens gewahr zu sein, die Aufgabe sollte aber auch ohne zu lösen sein. Jedenfalls ist ja $\begin{eqnarray} T\unlhd G \end{eqnarray}$ und wir können jetzt die Gruppe $\begin{eqnarray} G/T \end{eqnarray}$ betrachten.
21.01.2009, 11:01	chivas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir jetzt nicht 100% sicher. Kann man es so sagen: Der Homomorphismus $\begin{eqnarray} \psi: G \to G/_T, g \mapsto gT \end{eqnarray}$ ist surjektiv, und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist gerade der Kern. In $\begin{eqnarray} G/_T \end{eqnarray}$ gibt es eine normale 7-Sylowgruppe, deren Urbild auch normal in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Wenn jetzt das Urbild eine 7-Sylowgruppe in G ist, ist es klar. Kann man das mit der Ordnung der Elemente begründen?
21.01.2009, 12:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir nennen das Urbild einfach mal $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} U/T \end{eqnarray}$ ist eine normale Sylow-7-Untergruppe von $\begin{eqnarray} G/T \end{eqnarray}$ . Dann hat $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die Ordnung $\begin{eqnarray} 7^2\cdot 11 \end{eqnarray}$ und wie man sieht enthält $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eine normale Sylow-7-Untergruppe $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Die Frage ist jetzt nur noch, warum $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ normal in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. (Für Punkt 4 läuft die Argumentation dann übrigens analog.)
29.01.2009, 10:21	Karo85	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten morgen Ich habe das gerade mal zur Übung nachgerechnet und kann euch soweit auch ganz gut folgen. Nur der letzte Punkt ist mir nicht klar, weil doch normalerweise ein Normalteiler eines Normalteilers kein Normalteiler der "großen" Gruppe ist. Ich sehe nur, dass gilt $\begin{eqnarray} U \cong C_{7^2} \times C_{11} \cong C_7 \times C_7 \times C_{11} \unlhd G \end{eqnarray}$ . Könnte mir das kurz jemand erläutern? Und dann zum Schluß macht man doch nochmal die selbe Betrachtung mit $\begin{eqnarray} G/U \end{eqnarray}$ , richtig? Dort wäre dann die 31-Sylowgruppe normal, deren Urbild $\begin{eqnarray} \|K\| = 7^2 \cdot 11 \cdot 31 \end{eqnarray}$ wäre, und eine normale 31-Sylowgruppe enthält. Aber da verstehe ich auch nicht, warum die jetzt normal in G sein soll. Viele Grüße, Karo
29.01.2009, 10:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die Normalteilereigenschaft nicht transitiv ist, stimmt schon, aber es gilt ja: $\begin{eqnarray} U {\rm char} N\unlhd G \Rightarrow U\unlhd G \end{eqnarray}$ denn jedes Element aus $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wirkt als Automorphismus auf $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und lässt dann $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ fest. Wenn eine Sylowuntergruppe normal ist, dann ist es es auch die einzige Untergruppe dieser Ordnung in $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und somit muss sie auch immer charakteristisch in $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ sein. Der Rest der Argumentation stimmt so
29.01.2009, 11:05	Karo85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da hätte ich noch eine Weile überlegen können. Ich hatte es nämlich mit der Größe des Normalisators versucht, aber da konnte man nur die 1023 als Anzahl ausschließen. Also das bedeutet ja, wenn $\begin{eqnarray} N_1 \unlhd N_2 \unlhd G \end{eqnarray}$ und es keine weitere Untergruppe $\begin{eqnarray} U \leq N_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|U\| = \|N_1\| \end{eqnarray}$ gibt, dann ist stets $\begin{eqnarray} N_1 \unlhd G \end{eqnarray}$ . Das war mir gar nicht bewußt - kann man bestimmt ab und zu verwenden. Dankeschön! Karo
29.01.2009, 11:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, nur wird man mit der Größe leider meistens nicht viel anfangen können, aber es gilt halt für alle charakteristischen Untergruppen von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , wie z.B.: - das Zentrum $\begin{eqnarray} Z(N) \end{eqnarray}$ - die Kommutatorgruppe $\begin{eqnarray} N' \end{eqnarray}$ - Frattiniuntergruppe $\begin{eqnarray} \Phi(N) \end{eqnarray}$ (Durchschnitt über alle maximalen Untergruppen) - Fittinguntergruppe $\begin{eqnarray} F(N) \end{eqnarray}$ (max. nilpotenter NT) oder - $\begin{eqnarray} O_\pi(N) \end{eqnarray}$ (max. $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -Normalteiler, für eine Primzahlmenge $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) alle normal in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} N\unlhd G \end{eqnarray}$ ist. (PS: Bis auf das Zentrum müssen Dir die Beispiele aber jetzt noch nichts sagen)

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