Dualraum

20.01.2009, 12:56

Philipp Imhof

Dualraum

Hi!

Ich finde die ganze Sache mit dem Dualraum irgendwie etwas undurchsichtig. Hier ist, was ich bisher mitbekommen habe:

- Der Dualraum ist ein spezieller Homomorphismenraum Hom(V,K)

- Alle Elemente im Dualraum sind lineare Abbildungen von V auf K und werden auch Linearformen genannt.

- Der Dualraum zu einem n-dimensionalen Vektorraum ist ebenfalls n-dimensional.

- Aus diesem Grund bietet es sich an, die Basis so festzusetzen, dass v_n*(v_i) immer dann 1 gibt, wenn i=n ist, und sonst immer 0; also hat man dann n lineare Abbildungen v_1*...v_n* und die Matrixform jeder dieser Abbildungen ist die 1xn-Matrix mit der 1 in Spalte n und sonst alles 0.

- Weil der Dualraum selbst ein Vektorraum ist, kann jede Linearform aus den "Basis-Abbildungen" linear kombiniert werden.

Tja, ich glaube, das ist so das grundlegende. Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das noch nicht alles ist. Denn bei Anwendungsaufgaben habe ich immer grosse Mühe, auf ein Ergebnis zu kommen. (z. B. Duale Basis zu einem Vektorraum bestimmen)

Was muss man noch wissen um in diesem Bereich fit zu sein?

Danke und Gruss

21.01.2009, 17:53

Reksilat

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RE: Dualraum
Hallo Philipp,

Wenn Du einen Sachverhalt problemlos in eigenen Worten ausdrücken kannst, ist das immer ein gutes Zeichen, dass Du weißt worauf es ankommt. Freude

Viel mehr kann also auch nicht sagen, trotzdem ist meine Antwort recht lang ausgefallen.

Zu der Sache mit den dualen Basen möchte ich Dir diesen Beitrag bei der "Konkurrenz" empfehlen: Klick! Dort geht es nicht um den Rechenweg, sondern eher um eine Grundsatzdiskussion über die Berechnung von dualen Basen und um die Darstellung von linearen Abbildungen. Ich finde den Thread wirklich lesenswert.

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Ich möchte auch noch was dazu sagen:
Sei ab jetzt $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein beliebiger n-dimensionaler K-VR. Der Dualraum lässt sich dann als Raum der linearen Abbildungen von einem n-dimensionalen K-VR in einen eindimensionalen K-VR sehen und ist sogar isomorph zu $\begin{eqnarray*} {\rm Hom}(K^n,K) \end{eqnarray*}$ sowie zu $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ selbst. Trotzdem sind die Vektorräume natürlich nicht gleich, ein Element des Dualraums ist ein Abbildung und keine Matrix, die Schreibweise als Zeilenvektor klingt plausibel, ist aber nicht offensichtlich.

Wir können Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ immer in "Vektorschreibweise", also $\begin{eqnarray*} (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T \end{eqnarray*}$ , schreiben, aber das setzt erstmal eine gewisse Basis voraus, denn eigentlich identifiziert die Schreibweise ja immer nur den Vektor $\begin{eqnarray*} \alpha_1b_1+\ldots+\alpha_nb_n \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind dabei das, was man gemeinhin Standardbasis nennt und haben auch kein besonderes Aussehen, wie es die Darstellung in Vektorschreibweise immer vermuten lässt; es sind halt nur Vektoren, genauso wie Gruppenelemente auch nur Gruppenelemente sind und nicht an eine bestimmte Darstellung gekoppelt sind.

Wenn wir nun für $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine beliebige Basis M in Vektorschreibweise haben, dann setzt das eben eine Standardbasis voraus und wenn wir eine zu M duale Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ in Vektorschreibweise angeben wollen, so benötigen wir vorher auch eine Standardbasis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ . Gemeinhin nimmt man dann die zur Standardbasis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ duale Basis, die ja existiert und eindeutig bestimmt ist, aber trotzdem nur aus abstrakten Vektoren des Dualraums besteht. Dann passt aber auch wieder alles mit Matrizen-/Zeilenvektorschreibweise. Das wird unten im Beispiel veranschaulicht.

Ich habe das deswegen so ausführlich gemacht, da man in Aufgaben gemeinhin den $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ nimmt, welcher sich durchaus auch als Menge von Tupeln betrachten lässt und dort sind die Vektoren nicht mehr abstrakt, sondern lassen sich als n-Tupel direkt mit der Vektorschreibweise verbinden. Der Dualraum besteht hier aber eben nicht mehr aus Tupeln, sondern aus Abbildungen - die Vektorschreibweise ist nur noch eine Darstellung etwas völlig anderem.

Natürlich muss man das alles nicht jedesmal dazuschreiben, aber es tauchen ja häufig genug Probleme auf, wenn mal ein anderer Vektorraum als der $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, obwohl man eigentlich jeden endlichdimensionalen K-Vektorraum in der gleichen Schreibweise ausdrücken kann.

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Beispiel zur Berechnung einer dualen Basis:
V sein ein beliebiger 2-dimensionaler K-Vektorraum mit einer Basis $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ besitzt eine dazu duale Basis $\begin{eqnarray*} \{f_1,f_2\} \end{eqnarray*}$ , es gilt also $\begin{eqnarray*} f_i(e_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$
Die Vektoren aus V lassen sich in Vektorschreibweise darstellen und wir betrachten jetzt folgende andere Basis $\begin{eqnarray*} \{v,w\} \end{eqnarray*}$ von V:

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\quad \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gesucht ist die dazu duale Basis $\begin{eqnarray*} \{x,y\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ , welche sich ebenfalls in Vektorschreibweise bezüglich $\begin{eqnarray*} \{f_1,f_2\} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt, wir nehmen hier aber Zeilenvektoren:

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\quad \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix}y_1&y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es soll gelten:
$\begin{eqnarray*} 1\stackrel{!}{=}x(v)=(x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2)(1\cdot e_1+(-1)\cdot e_2)=\ldots=x_1-x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\stackrel{!}{=}x(w)=(x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2)(1\cdot e_1+0\cdot e_2)=\ldots=x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\stackrel{!}{=}y(v)=(y_1\cdot f_1+y_2\cdot f_2)(1\cdot e_1+(-1)\cdot e_2)=\ldots=y_1-y_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\stackrel{!}{=}y(w)=(y_1\cdot f_1+y_2\cdot f_2)(1\cdot e_1+0\cdot e_2)=\ldots=y_1 \end{eqnarray*}$

Das lässt sich schnell lösen, es ist

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch allgemein läuft es auf ein Gleichungsystem mit n² Gleichungen und n² Unbekannten hinaus, was erstmal nach viel klingt, was sich aber vereinfachen lässt.
Wenn wir die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ als 1xn-Matrix bzw. nx1-Matrix interpretieren, dann sehen die obigen Gleichungen so aus:

$\begin{eqnarray*} xv=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} xw=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} yv=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} yw=1 \end{eqnarray*}$

und das lässt sich in einer Matrixgleichung zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1&x_2\\y_1&y_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\-1&0\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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Allgemeine Vorgehensweise:

Gegeben sei eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ des n-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in Vektorschreibweise. Gesucht ist die dazu duale Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$

Schreibe die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als Spalten einer Matrix
Invertiere diese Matrix
Die Zeilenvektoren der Inversen sind die zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ duale Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Habe mich ein wenig reingesteigert und so wurde die Antwort immer länger. Jetzt wollte ich fragen, ob das vielleicht zu Workshops&Co passt. Kritik und Verbesserungsvorschläge werden gern entgegengenommen. Bei Gefallen lässt es sich ja auch zu einem Beitrag über Dualräume ausbauen.
(Obwohl hierfür ja eigentlich einer der Organisatoren zuständig wäre )

06.01.2010, 10:36

jabada

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ich habe gerade diesen beitrag gelesen und folgendes für meine bevorstehende aufgabe mitgenommen:

Zitat:

Allgemeine Vorgehensweise: Gegeben sei eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ des n-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in Vektorschreibweise. Gesucht ist die dazu duale Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ 1. Schreibe die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als Spalten einer Matrix 2. Invertiere diese Matrix 3. Die Zeilenvektoren der Inversen sind die zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ duale Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die Aufgabe vor mir, eine duale Basis bezüglich einer Basis zu besztimmen, allerdings ist diese duale Basis eine Basis von

V* = Hom (R³, R) = R^(1x3)

... in wie weit muss ich dieses R^(1x3) beachten in meiner Berechnung der dualen Basis ???

danke im vorraus smile

06.01.2010, 10:48

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{1\times 3} \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Vektorraum der $\begin{eqnarray*} 1\times 3 \end{eqnarray*}$ -Matrizen bzw. Zeilenvektoren.
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{1\times 3}=\left\{(a,b,c)|a,b,c\in\mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$
Insofern ist das genau das, was ich oben damit meinte, als ich sagte, dass sich die Vektoren des Dualraums als Zeilenvektoren interpretieren lassen.

Gruß,
Reksilat.

06.01.2010, 13:43

jabada

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soweit so gut, jetzt habe ich noch irgendwo einen weiteren punkt gelese:

Zitat:

teste, ob $\begin{eqnarray*} v_{i} * w_{j} = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$

... was genau bedeutet das nun ? ist das für mich relevant ??

06.01.2010, 14:17

jabada

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edit: danke noch für die antwort ;-)

06.01.2010, 15:18

Reksilat

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Zitat:

Original von jabada
soweit so gut, jetzt habe ich noch irgendwo einen weiteren punkt gelese:

Zitat:

teste, ob $\begin{eqnarray*} v_{i} * w_{j} = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$

... was genau bedeutet das nun ? ist das für mich relevant ??

Du hast das irgendwo gelesen? Dann solltest Du vielleicht auch dort nachfragen, denn ich habe das nicht geschrieben.
Was für Dich relevant ist, kann ich auch nicht sagen, da Du Dich ja nicht konkret zu Deinen Problemen äußerst.

27.05.2010, 19:38

pik0r

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Hallo, ich hoffe es stört keinen, wenn ich einen Link zu einem Artikel über die Berechnung der dualen Basis poste:
http://bit.ly/awWLDf

Grüße

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Dualraum

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