Ungleichung und Gleichung

21.01.2009, 21:52

kini

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Ungleichung und Gleichung

Hallo Leute,
hoffe, dass mir jemand helfen kann, hatte schon mal einen Ansatz, war aber leider nicht auf dem richtigen Weg...
Vielleicht kann mir ja jemand helfen, würde mich sehr freuen smile

smile

Also, nun zu meinem Problem:

In jedem Dreieck ABC gilt:

$\begin{eqnarray*} cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2} \geq 9 \end{eqnarray*}$

Wann gilt die Gleichheit?

Schon mal vielen Dank!

lg kini

24.01.2009, 14:44

Abakus

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RE: Ungleichung und Gleichung
Etwas vereinfachen solltest du die Ungleichung können, setz mal die Defintion des cot ein und teste dann Additionstheoreme.

Bleibt die Ungleichung dann weiter problematisch?

Grüße Abakus smile

smile

24.01.2009, 14:57

kini

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Moin, danke für deine Antwort!
Das hatte ich schon gemacht, hatte dann die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+ cos\alpha}{1- cos\alpha}+ \frac{1+ cos\beta}{1- cos\beta}+ \frac{1+ cos\gamma}{1- cos\gamma} \geq 9 \end{eqnarray*}$

denke, dass ich das richtig umgeformt habe, aber leider wurde mir gesagt, dass mir das auch nicht weiterhilft traurig

traurig

Oder hättest du da einen Tipp, wie ich damit weiterkomme? Oder habe ich da evtl. auch die falschen Additionstheoreme angewendet? verwirrt

verwirrt

Lieben Gruß kini

24.01.2009, 16:03

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Sagt dir die "Jensensche Ungleichung" was?

24.01.2009, 20:02

Abakus

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Sagt dir die "Jensensche Ungleichung" was?

Freude

So gehts super.

Grüße Abakus smile

smile

27.01.2009, 18:47

kini

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Habe schon mal davon gehört! Werde mir die in den nächsten Tagen mal genauer ansehen! Hoffe, dass ich damit zurecht komme....

Vielen, vielen Dank!

Liebe Grüße kini

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22.02.2009, 15:45

kini

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So, hatte jetzt endlich mal wieder Zeit mich mit dem Problem zu beschäftigen... Habe die Ungleichung jetzt erstmal folgendermaßen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2}\geq 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2}\geq \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2}\geq cot^4\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot (cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2})\geq cot^2\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot (cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2})\geq cot^2\frac{6\cdot30°}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot (cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2})\geq cot^2[\frac{1}{6}\cdot(\alpha + \beta + \gamma)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot (cot^2\frac{\alpha}{2}+ cot^2\frac{\beta}{2}+ cot^2\frac{\gamma}{2})\geq cot^2[\frac{1}{3}\cdot(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2})] \end{eqnarray*}$

Das wäre dann ja jetzt nach der Jennsenschen Ungleichung umgeformt... Ich habe auch schon gesehen, dass die Gleichheit dann gilt, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\gamma \end{eqnarray*}$ ist also, wenn das Dreieck gleichseitig ist. Nur wie zeige ich das jetzt? Kann mir da jemand helfen?

Schon mal vielen Dank!

Liebe Grüße Kini

22.02.2009, 16:18

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Du machst viele, z.T. ulkige (z.B. das mit dem $\begin{eqnarray*} \cot^4 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

) äquivalente Umformungen der Behauptung. Aber um das Wesentliche, nämlich die eigentliche Anwendung der Jensenschen Ungleichung, hast du dich bisher nicht gekümmert. Dabei wird die hier einfach ohne Umschweife auf die im Intervall $\begin{eqnarray*} \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ konvexe Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \cot^2(x) \end{eqnarray*}$ angewandt.

23.02.2009, 12:38

kini

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Ok, ich würde mal sagen, da hast du wohl Recht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ist die Funktion nicht in allen Intervallen der Form $\begin{eqnarray*} (k\cdot \pi ,(k+ 1)\cdot \pi ), k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
konvex?
Da $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta + \gamma = 180° \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2}+ \frac{\gamma}{2}= 90° \end{eqnarray*}$
Also liegen die Winkel auch alle in diesem Intervall...
Aber wie hilft mir das weiter? Was sagt das jetzt aus? Weiß einfach nicht, was ich da jetzt machen soll.... traurig

traurig

Und vor allem, wie ich zeige, dass die Gleichheit nur in einem gleichseitigen Dreieck gilt...
Kann mir da noch mal jemand weiter helfen?

Liebe Grüße kini

23.02.2009, 12:40

kini

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Nachtrag:
Soll die Ungleichung vielleicht einfach nur heißen, dass jedes Dreieck konvex ist? Oder was sagt mir das sonst? Dann fehlt mir immer noch das mit der Gleicheit...
LG

23.02.2009, 13:56

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Zitat:

Original von kini
Aber ist die Funktion nicht in allen Intervallen der Form $\begin{eqnarray*} (k\cdot \pi ,(k+ 1)\cdot \pi ), k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvex?

Mag sein, aber für die vorliegende Aufgabe braucht man nur das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , da alle drei Halbinnenwinkel $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2},\frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall liegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Welche Probleme hast du denn jetzt noch: Du wendest die Jensensche Ungleichung auf die genannte Funktion an, als Argumente die drei genannten Halbinnenwinkel, jeder versehen mit Gewichtsfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , fertig.

Ist die Funktion streng konvex - was hier der Fall ist - dann tritt Gleichheit genau dann ein, wenn die drei Argumente (also die Halbinnenwinkel) einander gleich sind. Mit anderen Worten: Nur im gleichseitigen Dreieck.

Zitat:

Original von kini
Soll die Ungleichung vielleicht einfach nur heißen, dass jedes Dreieck konvex ist?

Jedes Dreieck ist konvex, auch ohne diese Ungleichung. Außerdem hat die Konvexheit geometrischer Figuren nur entfernt was mit der Konvexheit der hier verwendeten Funktion zu tun, deswegen kommt mir diese deine Frage schon sehr seltsam vor...

23.02.2009, 14:56

kini

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Wie ist denn das mit dem Anwenden gemeint? Meinst du, ich soll einfach von der Jensenschen Ungleichung ausgehen und dann zeigen, dass ich von dort auf meine gegebene Ungleichung kommen kann? Also die Schritte, die ich oben beschrieben habe quasi nur rückwärts...? Tut mir leid, wenn ich etwas auf dem Schlauch stehe verwirrt

verwirrt

, mein Hirn ist zur Zeit überfüllt...

23.02.2009, 15:04

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Wir reden wohl total aneinander vorbei: Hast du denn noch nie davon gehört, dass man diesen oder jenen mathematischen Satz anwendet???

Man überprüft, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind. Ist das der Fall, kann man die Satzaussage verwenden - hier im vorliegenden Fall ist das eben die Jensensche Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left(x_i\right) \geq f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \end{eqnarray*}$ ,

angewandt auf $\begin{eqnarray*} f(x) = \cot^2(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Was hast du denn gedacht, wovon ich rede???

24.02.2009, 17:30

kini

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Oh man, hatte voll den Denkfehler... Hammer

Hammer

Vielen Dank, dass ich immer noch Antworten bekomme, auch wenn ich etwas hinterher hinke mit dem Denken...
Na ja, jetzt weiß ich, was zu tun ist...
Dass die Gleichheit gilt, wenn die Argumente gleich sind war mir ja schon bewusst, aber gibt es auch eine Möglichkeit das zu beweisen? Und kann mir jemand sagen, wie ich beweisen kann, dass $\begin{eqnarray*} cot^2(x) \end{eqnarray*}$ konvex ist? Die Definition für Konvexität lautet ja:
$\begin{eqnarray*} \forall t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f((1-t)\cdot x_1+t\cdot x_2)\leq (1-t)\cdot f(x_1)+t\cdot f(x_2) \end{eqnarray*}$
Wenn ich nicht falsch liege, reicht es, das für $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, habe das auch versucht, komm aber leider nicht weiter...Oder bin ich mal wieder auf dem Holzweg?

GlG kini

24.02.2009, 17:33

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Zitat:

Original von kini
Dass die Gleichheit gilt, wenn die Argumente gleich sind war mir ja schon bewusst, aber gibt es auch eine Möglichkeit das zu beweisen?

An sich ist das Bestandteil einer "ordentlich" aufgeschriebenen Jensenschen Ungleichung, sollte somit beim Beweis dieser Jensenschen Ungleichung gleich mit erledigt werden.

Zitat:

Original von kini
Und kann mir jemand sagen, wie ich beweisen kann, dass $\begin{eqnarray*} cot^2(x) \end{eqnarray*}$ konvex ist?

Hinreichend für Konvexität ist der Nachweis von $\begin{eqnarray*} f''(x) > 0 \end{eqnarray*}$ im betrachteten Intervall.

24.02.2009, 18:56

kini

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Danke für deine Antwort!
Habe jetzt mal versucht die Ableitungen zu bilden, vielleicht kann mir jemand sagen, ob die richtig sind:

$\begin{eqnarray*} f(x)=cot^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -2\cdot cot(x)\cdot (1+cot^2(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{2+2cot^2(x)+4\cdot cos^2(x)}{sin^2(x)}+4\cdot cot^4(x) \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man die 2. Ableitung noch weiter umformen, aber man sieht ja so schon, dass sie größer 0 ist, deshalb sollte das doch wohl reichen oder was meint ihr/du?
Hoffe, dass das so richtig ist smile

smile

LG kini

24.02.2009, 19:21

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Die erste Ableitung stimmt noch, aber bei der zweiten hast du dich sicher verrechnet.

24.02.2009, 19:28

kini

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Ok, danke, starte dann mal einen neuen Versuch...

24.02.2009, 19:47

kini

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So, hoffentlich ist es jetzt richtig, habe aber (glaub ich zumindest) meinen Fehler entdeckt...:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=2\cdot \left(\frac{1}{sin^2(x)}+cos^2(x)\right) + 4\cdot \left(cot^2(x)+ cot^4(x)\right) \end{eqnarray*}$

Oder bin ich etwa wieder falsch?
LG

24.02.2009, 19:55

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Ja, falsch. Keine Ahnung, was du da machst - leite doch einfach $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ab, unter Nutzung von

$\begin{eqnarray*} (\cot(x))' = -(1+\cot^2(x)) \end{eqnarray*}$

bei der Kettenregel. Das wird ja langsam deprimierend in dem Thread - ursprünglich hatte mir die Aufgabe mal gefallen, ist lange her.

24.02.2009, 20:13

kini

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Tut mir leid, wenn das deprimierden für dich wird...Hoffe, du hilfst mir trotzdem weiter... Bin nämlich auch schon ziemlich deprimiert...Versuche die ganze Zeit, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ zu bilden, aber wie man sieht, kriege ich das irgendwie nicht hin... Muss ich nicht die Produktregel anwenden?

24.02.2009, 20:19

kini

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Ich gebe die Hoffnung nicht auf, dass ich irgendwann mal richtig liege, wenn es jetzt wieder falsch ist, werde ich wohl erst einmal ne Pause machen müssen und mich dann wieder ransetzen... Also, noch ein nächster Versuch:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6\cdot cot^4(x)+ 8\cdot cot^2(x)+2 \end{eqnarray*}$

Lass es bitte endlich richitg sein... Gott

Gott

24.02.2009, 21:08

Mathespezialschüler

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Jetzt stimmts!

24.02.2009, 21:23

kini

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Gott sei Dank! Bin schon fast verzweifelt...Hatte irgendwie ne falsche Ableitung von $\begin{eqnarray*} cot(x) \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann ich ja weitermachen!
Vielen, vielen Dank!!!!!!!!!!

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