Partitionstypen einer Funktion |
| 24.01.2009, 14:28 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Partitionstypen einer Funktion ich habe eine Verständnisfrage und zwar ganz simpel was man unter "Partitionstypen einer Funktion" versteht - ich habe das in einer alten Klausur zur Linearen Algebra 2 gefunden und weiss nicht was gemeint ist. Ich hänge die betreffende Aufgabe mal an. Gruß Björn |
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| 24.01.2009, 20:44 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Partitionstypen einer Funktion Hi Bjoern, Ich hab's auch noch nie gehört, aber Google brachte mir dieses Aufgabenblatt und damit konnte ich herausfinden, dass der Partitionstyp die Größe der Jordanblöcke ist. Im Wikipediabeispiel zur JNF ist die Matrix nilpotent und hat dann den Partitionstyp (2,2,1). |
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| 24.01.2009, 21:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Uii, vielen Dank - bin zwar auch auf die Seite gestoßen aber konnte das zu dieser Zeit trotzdem nicht ganz zuordnen - nun ist es klar. Nochmal danke für die Mühe 
Gruß Björn |
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| 25.01.2009, 03:21 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Immer schön, wenn man eine Rückantwort erhält. 
gn8 |
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| 25.01.2009, 22:13 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat jemand mal Lust die Aufgabe mit mir durchzugehen ? Erstmal a) Da f ein Endomorphismus ist gibt es aussschließlich den Eigenwert 0. Wegen dim(V)=15 bzw AV vom Eigenwert null beträgt die Länge des Jordanblocks 15. Aus dim ker f=8 folgt, dass der Block aus 8 Kästchen bestehen muss. Die Lösung mit dem größtmöglichen Block wäre 1x8 und 7x1 Das wären meine Gedanken dazu. Wie schließe ich auf f^8=0 ? Gruß Björn |
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| 25.01.2009, 22:25 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du das auch erklären? |
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| 25.01.2009, 22:28 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldige, ich meinte naürlich "Da f ein nilpotenter Endomorphismus ist..." |
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| 25.01.2009, 22:31 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mhh ja hätte wohl aufmerksamer die Aufgabe lesen sollen 
. Hatte nur den letzten Beitrag von dir gelesen und deswegen war ich leicht verwundert.Zur Aufgabe: Betrachte die JNF. Was passiert mit den Einsern wenn du sie potenzierst? Folgere dadurch f^8 = 0 |
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| 25.01.2009, 22:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir leid ich weiss leider noch nicht worauf du hinaus willst
Meinst du die Einsen in der Nebendiagonale bzw dass 7 dieser Einsen verschwinden wenn man mit 8 potenziert ? Danke für deine Hilfe
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| 25.01.2009, 22:50 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau das meine ich. Also ist für genau und damit gerade und damit |
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| 25.01.2009, 23:37 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Schluss kann ich leider nicht nachvollziehen - könntest du es mir erklären ? Wo ist da der Zusammenhang mit den Einsen und warum ist J^8 auf einmal die Nullmatrix, wo ich doch vorhin meinte, dass noch 7 der 14 Einsen beim Potenzieren verbleiben... |
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| 25.01.2009, 23:45 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es sind doch pro Block höchstens 7 Einsen? Wenn dann 7 verschwinden ist das doch toll. Wir haben doch und . Da für jedes gilt gilt auch |
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| 26.01.2009, 11:58 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok das leuchtet ein, dafür muss ich dann aber unbedingt dim ker f=8 erwähnen und was daraus folgt für den größtmöglichen Block. Insofern kann ich meine Vorarbeit:
schon so stehen lassen und als letzten Gedanken deine Idee mit der Zerlegungsgleichung hinzufügen oder ist irgendwas an meiner Vorarbeit noch überflüssig bzw würdest du es anders angehen ? Gruß Björn |
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| 26.01.2009, 12:51 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Es ist wichtig das der größte Block eben die Größe 8 hat. Die anderen sind für die Berechnung von f^8 = 0 dann unwichtig da eben kleiner
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| 26.01.2009, 13:57 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schön
Wenn wir schonmal dabei sind, dann dröseln wir das ganze noch ein wenig mehr im Sinne des allgemeinen Verständnisses und meiner SIcherheit auf
Das folgt aber aus der Voraussetzung dim ker f=8 nur als EINE von mehreren möglichen Zerlegungen oder ? Es könnte ja auch 1x7 und 1x2 und 6x1 Blöcke sein..etc , um mit 8 Jordanblöcken eine ganze 15x15 Matrix auszufüllen. Meines Wissens erhält man ja nur dann Erkenntnisse über die Länge des größtmöglichen Blocks indem man solange potenziert, bis sich die Dimension des Kernes nicht mehr ändert. Hier ist darüber ja nichts ausgedacht, was die AUfgabenstellung insofern nicht eindeutig macht und man eben von mehreren möglichen Zerlegungen ausgehen muss. Deswegen vielleicht nochmal: Man bezieht sich also automatisch nur auf diesen Fall, weil für andere Zerlegungen wie 1x7 und 1x2 und 6x1 sowieso durch Potenzieren mit 8 dann ausschließlich Jordanblöcke entstehen, die zur Nullmatrix werden und eben der Fall 1x8 und 7x1 der Grenzfall ist, wodurch um auch wirklich alle Fälle zusammenzufassen mindestens f^8=0 gelten muss. Allgemein ist der Nilpotenzgrad also bei einem nilpot. End. durch eine AUssage über dim ker f zu bestimmen, ja ? Ist das alles richtig verstanden ? Gruß Björn |
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| 26.01.2009, 18:31 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, JNF ist schon etwas zu lange her als das ich noch genau weiß welche Partitionen jetzt wirklich möglich sind. Ich weiß nicht ob die Formel Einschränkungen liefert. Aber zumindest kann man mit der Angabe der Dimension des Kerns bereits eine Abschätzung des Nilpotenzgrads machen. |
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| 26.01.2009, 20:42 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In Ordnung, dann widme ich mich mal den beiden Hauptaufgaben b) und c) und poste mal meine Ansätze bzw Gedanken: b) Bestimme alle Partitionstypen (mögliche Zerlegung der Jordanblöcke) vom nilpotenten Endomorphismus f (dim V=15), falls dim Kern f=3 und dim Kern f²=4 c) Bestimme alle Partitionstypen (mögliche Zerlegung der Jordanblöcke) vom nilpotenten Endomorphismus f (dim V=15), falls dim Kern f=9 und dim Kern f²=11 und f^5=0 Dass aus dim Kern f immer die Anzahl der Blöcke folgen ist klar. f^5 bei c) sagt einem, dass ab der 5. Potenz eine Nullmatrix entsteht und damit sich ab dieser Potenz nichts mehr an dim Kern f ändert, wodurch der größtmögliche Block die Länge 5 hat. Problem ist jetzt was ich aus dim Kern f²=4 bzw dim Kern f²=11 folgern kann. Bei wiki gibt es hier eine schöne Formel für die Anzahl der Jordan-Kästchen der Größe s, diese Formel ist mir jedoch nicht bekannt und ich würde gerne wissen wie man sie sich entweder herleiten kann oder was man alternativ noch aus dim Kern f²=4 bzw dim Kern f²=11 schließen kann... http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_...rdanbl.C3.B6cke Mit diesen Informationen erhalte ich eigentlich jeweils nur eine mögliche Zerlegung: b) (13;1;1) c) (5;3;1;1;1;1;1;1;1) Was meint ihr dazu ? Gruß Björn |
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