Ring, nilpotentes Element, Einheiten

24.01.2009, 14:57

crazyluisa33

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Ring, nilpotentes Element, Einheiten

Hallo Leute, Wink

Wink

ich brauch mal wieder eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring und $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ ein nilpotentes Element. Zeigen Sie:

i) $\begin{eqnarray*} 1 + a \end{eqnarray*}$ ist eine Einheit in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

ii) Die Summe $\begin{eqnarray*} b+a \end{eqnarray*}$ aus einer Einheit $\begin{eqnarray*} b \in R \end{eqnarray*}$ und einem nilpotenten Element $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ ist wieder eine Einheit, falls a und b kommutieren.

iii) Finden Sie einen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit nilpotentem Element $\begin{eqnarray*} a \in R \setminus 0 \end{eqnarray*}$ und invertieren Sie $\begin{eqnarray*} 1 + a \end{eqnarray*}$

Ich mag Ringe und vorallem Einheiten einfach überhaupt nicht^^

Also weiß folgendes:
nilpotent heißt, dass $\begin{eqnarray*} a^n =0 \end{eqnarray*}$
außerdem weiß ich zu ii) dass wenn zwei elemente kommutieren und eins nilpotent ist, dass dann beide nilpotent sind(hatten wir mal gezeigt)
zu iii) inverse müssen ja zusammengerechnet immer das neutralelement ergeben.

einheiten sind: wenn es zu einem a aus R ein b aus R gibt mit: a+b=1.

so soweit bin ich bis jetzt.
weiter komme ich ehrlich gesagt nicht, ich hab bei ringen und vorallem bei einheiten immer eine denkblockade, die werden einfach nicht meine freund ^^
also ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ganz liebe Grüße Luisa Tanzen

Tanzen

Tanzen

24.01.2009, 20:05

Reksilat

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RE: Ring, nilpotentes Element, Einheiten
Hallo Luisa!

Zitat:

Ich mag Ringe und vorallem Einheiten einfach überhaupt nicht^^

Vielleicht mögen sie Dich ja auch nicht. Teufel

Teufel

Zitat:

einheiten sind: wenn es zu einem a aus R ein b aus R gibt mit: a+b=1.

FALSCH! Eine Einheit ist ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . D.h.:
$\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} e\cdot x=1 \end{eqnarray*}$

Zu i):
Was passiert denn, wenn man das Element mit $\begin{eqnarray*} 1-a \end{eqnarray*}$ multipliziert? Wie könnte man das weiterführen?

Zu ii):

Zitat:

außerdem weiß ich zu ii) dass wenn zwei elemente kommutieren und eins nilpotent ist, dass dann beide nilpotent sind(hatten wir mal gezeigt)

Stimmt nicht! Das Einselement kommutiert mit jedem Element und ist ganz bestimmt nicht nilpotent. Außerdem ist die Summe zweier nilpotenter Elemente wieder nilpotent und dann könnte bei (ii) das Element a+b keine Einheit mehr sein.

Zur Aufgabe:
Was ist denn eigentlich $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ ? Eine Einheit oder nilpotent?

zu iii):
Welche Ringe kennst Du denn? Schau bei denen vielleicht erstmal nach Nullteilern, d.h. bei welchem Ring gibt es Elemente $\begin{eqnarray*} a,b\neq 0 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} a\cdot b=0 \end{eqnarray*}$ ?
Diese Aufgabe ist erstmal die wichtigste, denn schließlich musst Du ja wissen, worum es überhaupt geht. Etwas über Nilpotenz zu beweisen ist nur sinnvoll, wenn man im Hinterkopf ein paar Beispiele hat, an denen man sieht, was überhaupt in der Behauptung steht.
(PS: gidf)

25.01.2009, 19:43

crazyluisa33

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oh stimmt, einheit war nicht a+b=1 sondern a*b=1, also dass dann a ein teiler von 1 ist.
weiß ich eigentlich auch, hatte ich beim beitragschreiben irgendwie falsch gemacht.

zu i)

wenn man 1+a mit 1-a multipliziert:

$\begin{eqnarray*} (1+a)(1-a)=1^2 + a^2 \end{eqnarray*}$

das heißt wenn man weiß wann es irgendwie schafft dass da am ende $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ steht, dann hat man es gezeigt. erst dachte ich es könnte ja einfach $\begin{eqnarray*} (1-a^{n-^1}) \end{eqnarray*}$ sein, aber das ist ja dann nich mehr die binomische formel...

aber wenn man weiter das $\begin{eqnarray*} 1^2 + a^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1^2 - a^2 \end{eqnarray*}$ multipilizert, kommt man vllt irgendwann aufs ergebnis, aba dann kann n nur gerade sein oder?

zuii) hast de recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn a und b kommutieren und a nilpotent ist, dann ist nicht zwingend b nilpotent, sondern das produkt a*b. das hatten wir mal gezeigt.
habs eben nochma nachgeschaut.

also ist a*b nilpotent, wenn a es ist und die beiden kommutieren.

aber hier gehts doch um summen??
also die summe a+b ist auch nilpotent(falls kommutativ), das hatten wir auch gezeigt damals. man müsste jez also ein element finden, das mit (a+b) multipliziert 1 ergibt...

zuiii) so ein ring wär z.b. Q, also die Brüche. es gibt ja brüche mit a*b =1, einfach die inversen.

LG Luisa Tanzen

Tanzen

Tanzen

25.01.2009, 20:19

Reksilat

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Zu i):

Zitat:

aber wenn man weiter $\begin{eqnarray*} 1-a^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1+a^2 \end{eqnarray*}$ multipilizert, kommt man vllt irgendwann aufs ergebnis, aba dann kann n nur gerade sein oder?

Die Idee ist gut. Freude

Freude

Beispiel: Es sei $\begin{eqnarray*} a^{13}=0 \end{eqnarray*}$ .
wir haben $\begin{eqnarray*} (a+1)(a-1)=a^2-1 \end{eqnarray*}$
und weiter $\begin{eqnarray*} (a^2-1)(a^2+1)=a^4-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a^4-1)(a^4+1)=a^8-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a^8-1)(a^8+1)=a^{16}-1 \end{eqnarray*}$
Was ist aber $\begin{eqnarray*} a^{16} \end{eqnarray*}$ ?

Zu ii):
Deine Kommentare sind hier leider sehr konfus. Ich fasse zusammen:
-Wenn a nilpotent ist und mit b vertauscht, dann ist ab nilpotent.
-Wenn a und c nilpotent sind und vertauschen, dann ist auch a+c nilpotent.
Wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_o\cdot b=1 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt schau Dir mal den Ausdruck $\begin{eqnarray*} b_0\cdot (a+b) \end{eqnarray*}$ an.

Zu iii):

Zitat:

so ein ring wär z.b. Q, also die Brüche. es gibt ja brüche mit a*b =1, einfach die inversen.

böse

Und das kann ich echt nicht glauben! Ist es zu schwer das zu lesen, was ich geschrieben habe? Ist Dir der Unterschied zwischen 0 und 1 nicht klar? Ich versuche hier zu helfen, aber solche Antworten sind einfach nur Zeitvergeudung!

25.01.2009, 21:53

crazyluisa33

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zu i)

$\begin{eqnarray*} a^{16} \end{eqnarray*}$ wäre ja $\begin{eqnarray*} a^{13} \cdot a^3 = 0 \cdot a^3 = 0 \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

also könnte man $\begin{eqnarray*} (1+a)(1-a)= 1 - a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-a^2)(1+a^2)= 1-a^4 \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} (1-a^n)(1+a^n)=1-a^{2n} \end{eqnarray*}$

und das wäre ja auf jeden fall wieder:
$\begin{eqnarray*} a^{2n}=0 \end{eqnarray*}$

also bleibt nur die 1 übrig, und es ist eine einheit...

aber welcher faktor ist jetzt genau der, den ich mit (1+a) multiplizieren muss damit 1 rauskommt. kann ja nich einfach den am ende nehmen...

zu ii)

$\begin{eqnarray*} b_0 \cdot (a+b) = b_0b + b_0a = 1+b_0a \end{eqnarray*}$
aber was ist $\begin{eqnarray*} 1+b_0a \end{eqnarray*}$ ??

zu iii) sorry, war keine absicht.
zu $\begin{eqnarray*} a \cdot b=0 \end{eqnarray*}$ fällt mir grad kein ring ein, muss ich erst nochma überlegen...

LG Luisa Tanzen

Tanzen

Tanzen

26.01.2009, 00:23

Reksilat

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Zu i):
Nicht $\begin{eqnarray*} a^{2n} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Irgendwann wird $\begin{eqnarray*} 1-a^{2^n}=1 \end{eqnarray*}$ und dann dröseln wir das alles wieder rückwärts auf, ich mach das mal am obigen Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1=a^{16}-1=(a^8-1)(a^8+1)=(a^4-1)(a^4+1)(a^8+1)=(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)\\=(a+1)(a-1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1) \end{eqnarray*}$

zu ii):
Hier kann man i) anwenden, denn wenn man zeigt, dass $\begin{eqnarray*} b_0a \end{eqnarray*}$ nilpotent ist, so ist $\begin{eqnarray*} 1+b_0a \end{eqnarray*}$ eine Einheit und dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ , als Teiler davon. Oben wurde auch schon ein weiteres Ergebnis zitiert, dass uns nun hilft. Was bleibt zu zeigen?

zu iii):
Dann nehmen wir halt den Ring der 2x2-Matrizen mit der ganz normalen Matrixmultiplikation und -addition. Zu tun:
- Was wäre hier 0 und was 1?
- Finde ein nilpotentes Element
- Was sind hier die Einheiten?

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26.01.2009, 17:35

crazyluisa33

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ich hab ma noch ne frage zu i)

warum schreibst du immer (a-1), und nich (1-a)? dann kommt doch als ergebnis auch nich 1, sondern -1 raus bei (a-1), oder? irgendwie versteh ich nich, warum du das da machst...
und warum: $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ ??

ist doch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} a^{2n} \end{eqnarray*}$

also z.b. bei $\begin{eqnarray*} (1+a^8)(1-a^8)=1- a^{2^8} =1-a^{2 \cdot 8} = 1- a^{16} \end{eqnarray*}$ (potenzregeln?)
oder?

ok dann nochma zu i)
$\begin{eqnarray*} 1&=&1-a^{2^n}\\ &=&(1-a^n)(1+a^n)\\ &=&(1-a^{\frac{n}{2} })(1+a^{\frac{n}{2} })(1+a^n)\\ &=& (1-a^{\frac{n}{4} })(1+a^{\frac{n}{4} })(1+a^{\frac{n}{2} })(1+a^n)\\ &=& (1-a^{\frac{n}{8} })(1+a^{\frac{n}{8} })(1+a^{\frac{n}{4} })(1+a^{\frac{n}{2} })(1+a^n)\\ &=& ....\\ &=& (1+a)(1-a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)....(1+a^{\frac{n}{8} })(1+a^{\frac{n}{4} })(1+a^{\frac{n}{2} })(1+a^n) \end{eqnarray*}$

zuii) man muss also zeigen dass $\begin{eqnarray*} b_0a \end{eqnarray*}$ nilpotent ist...
nilpotent ist es auf jeden fall wenn, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ kommutieren... nur wie findet man jetzt raus, ob die dies tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

?
vielleicht weil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauschen und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ eine Einheit sind. verwirrt

verwirrt

zu iii) 0 wäre: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
1 wäre: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einheiten wären welche mit: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$
z.b.: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nilpotent wüsste ich jetzt nur in endlichen matrizenringen, wo z.b. nur 1 und 0 als zahlen in den matrizen vorkommen...

LG Luisa Tanzen

Tanzen

Tanzen

Edit (Dual Space): Zeilenumbrüche eingefügt.

26.01.2009, 18:36

Reksilat

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Zitat:

warum schreibst du immer (a-1), und nich (1-a)? dann kommt doch als ergebnis auch nich 1, sondern -1 raus bei (a-1), oder? irgendwie versteh ich nich, warum du das da machst...

Da habe ich wohl nicht weiter drauf geachtet, da ja (-1)(a-1)=(1-a) ist. Wenn ich zeigen kann, dass (a-1) eine Einheit ist, dann gibt es ein b, mit (a-1)b=1 und dann ist (1-a)(-1)b=(a-1)b=1 und somit ist auch (1-a) eine Einheit. Umgekehrt genauso.
Da bin ich leider etwas schluderig.

Zitat:

und warum: $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ ??
ist doch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} a^{2n} \end{eqnarray*}$

Nein! Es geht hier um $\begin{eqnarray*} a^{(2^n)}\neq a^{2n} \end{eqnarray*}$ , wie Du leicht nachrechnen kannst. Der Exponent ist immer eine 2-Potenz, das sieht man ja auch am Beispiel, wo immer 1,2,4,8,16,... als Exponenten auftauchen.

dann ist auch
$\begin{eqnarray*} 1=1-a^{(2^n)}=.... = (1+a)(1-a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)....(1+a^{\frac{(2^n)}{4} })(1+a^{\frac{(2^n)}{2} })(1+a^{(2^n)}) \end{eqnarray*}$

zu ii)

Zitat:

man muss also zeigen dass $\begin{eqnarray*} b_0a \end{eqnarray*}$ nilpotent ist... nilpotent ist es auf jeden fall wenn, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ kommutieren... nur wie findet man jetzt raus, ob die dies tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

? vielleicht weil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauschen und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ eine Einheit sind. verwirrt

verwirrt

Irgendwie komme ich da auch grad nicht weiter, da hier ja $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt auch Rechtsinverses sein muss. (Hier kann $\begin{eqnarray*} b_0b=1 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} bb_0\neq 1 \end{eqnarray*}$ gelten)

Wir können das ganze aber analog zu i) aufziehen:
$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=aa+ba-ab-bb=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ (hier benötigt man, dass a und b vertauschen)
Jetzt macht man mit $\begin{eqnarray*} a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ weiter...

zu iii)

Zitat:

0 wäre: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 1 wäre: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

einheiten wären welche mit: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Ja, d.h. es sind genau die invertierbaren Matrizen, allerdings ist Dein Beispiel nicht richtig, denn
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \neq 1 \end{eqnarray*}$

Es gibt auch bei reellwertigen Matrizen nilpotente Elemente. Untersuche doch mal 2x2-Matrizen, die möglichst viele Nullen haben auf Nilpotenz.

Nachtrag: Bitte vermeide in Zukunft die überlangen Formeln, da sie die Übersicht über den ganzen Thread erschweren. Mit \\ kannst Du auch innerhalb einer Formel einen Zeilenumbruch durchführen. Danke.

27.01.2009, 16:10

crazyluisa33

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Hi,
das mit dem Zeilenumbruch wusst ich nich, wenn ich einfach in der nächsten zeil weitergeschrieben hab, kam immer so ein komisches "br", deswegen hatte ich das dann ohne zeilenumbruch gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

also noch ma zu dem $\begin{eqnarray*} a^{(2^n)} \end{eqnarray*}$
dann wäre ja bei : $\begin{eqnarray*} (1+a^8)(1-a^8)=1-a^{(2^8)} = 1-a^{256} \end{eqnarray*}$
und schon bei $\begin{eqnarray*} (1+a^4)(1-a^4)=1-a^{(2^4)} = 1-a^{16} \end{eqnarray*}$

dann hast du das ja selber auch nich oben bei deiner rechnung angewendet...?
ich verstehe auch immer noch nicht warum es so sein sollte...
man rechnet ja:
$\begin{eqnarray*} (1+a^8)(1-a^8)=(1 \cdot 1)+(1 \cdot -a^8)+(1 \cdot a^8)+(a^8 \cdot -a^8)=1-a^{16} \end{eqnarray*}$

also irgendwas kann da nich ganz stimmen...

zu ii) $\begin{eqnarray*} (a^2 - b^2)(a^2+b^2) =a^4-a^4 \\ (a^4-a^4)(a^4+a^4)=a^8-a^8 \end{eqnarray*}$ und so weiter...
umgestellt dann so : $\begin{eqnarray*} 1= (a+b)(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)... \end{eqnarray*}$

hab ich das jez richtig verstanden bei ii) also man kann nur die 3. binomische formel anwenden weil a und b vertauschen also ab=ba und somit kann man -ab und ba kürzen richtig??

zu iii)
wären das einheiten?: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also das wären ja jetz einheiten oder?

dass sie nilpotent sind:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so richtig?

LG Luisa Tanzen

Tanzen

Tanzen

28.01.2009, 12:35

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu i):

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1+a^8)(1-a^8)=1-a^{(2^8)} = 1-a^{256} \end{eqnarray*}$

Du musst Dir echt die Potenzgesetze anschauen! Dass das hier Quatsch ist, sollte auch in der Schule schon klar sein. Es ist:
$\begin{eqnarray*} (1+a^8)(1-a^8)=1-a^{16} \end{eqnarray*}$
denn
$\begin{eqnarray*} (1+a^{(2^3)})(1-a^{(2^3)})=1-a^{(2^4)} \end{eqnarray*}$

Zu ii):

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a^2 - b^2)(a^2+b^2) =a^4-a^4 \\ (a^4-a^4)(a^4+a^4)=a^8-a^8 \end{eqnarray*}$

Wo sind denn hier die b hin? Die Idee ist aber richtig:
$\begin{eqnarray*} (a^2 - b^2)(a^2+b^2) =a^4-b^4 \\ (a^4-b^4)(a^4+b^4)=a^8-b^8\\\dots \end{eqnarray*}$

Und richtig: die 3.binomische Formel funktioniert nur, wenn a und b vertauschen.

zu iii):
Die Einheiten sind halt alle invertierbaren Matrizen, das kann man kontrollieren, indem man die Determinante ausrechnet. Bei Deinen Beispielen hast Du die Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ betrachtet, das ist OK, sollte aber mit dazu angegeben werden.

Jedenfalls hast Du ja jetzt nilpotente Elemente gefunden und musst nur noch für ein solches nilpotentes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} A+E \end{eqnarray*}$ bilden und sie invertieren.

28.01.2009, 14:36

crazyluisa33

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne die Potenzgesetze sehr gut, deswegen ja meine Nachfrage.

hier nurmal um was es ging:

Zitat:

Original von crazyluisa33

also könnte man $\begin{eqnarray*} (1+a)(1-a)= 1 - a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-a^2)(1+a^2)= 1-a^4 \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} (1-a^n)(1+a^n)=1-a^{2n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Reksilat
Zu i):
Nicht $\begin{eqnarray*} a^{2n} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern
Irgendwann wird $\begin{eqnarray*} 1-a^{2^n}=1 \end{eqnarray*}$ und dann dröseln wir das alles wieder rückwärts auf, ich mach das mal am obigen Beispiel:

warum sollte es also nach deiner variante $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ sein??

das is ja genau das was mich stört
du widersprichst dir da grad selbst.

und das dass quatsch ist:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1+a^8)(1-a^8)=1-a^{2^8}=1-a^{256} \end{eqnarray*}$

das ist mir natürlich völlig klar, ich habe hier nur das angewendet was du gesagt hast um zu zeigen, dass das ja nich sein kann...

verstehst du jetzt was ich meine?

also warum es $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ sein sollte

und nich ganz normal $\begin{eqnarray*} a^{2n} \end{eqnarray*}$ ...

zu ii) nochmal

da müsste man doch noch ein $\begin{eqnarray*} b_0^n \end{eqnarray*}$ ein fügen oder?
weil ohne das hätte man ja da am ende sowas stehn wie: $\begin{eqnarray*} ...=a^n-b^n \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} a^{n} \end{eqnarray*}$ fällt weg, aber $\begin{eqnarray*} b^{n} \end{eqnarray*}$ ist ja noch nich 1... erst mit $\begin{eqnarray*} b_0^n \end{eqnarray*}$ oder?

zu iii)
also da da ja steht "finden sie einen ring R" kann ich ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nehmen oder?
dürfte ja der einfachste sein...
also ist mein a z.b. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann muss ich also $\begin{eqnarray*} (1+ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ invertieren...richtig?
müsste ja dann einfach $\begin{eqnarray*} 1- \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, da dann nach 3. binom. formel $\begin{eqnarray*} 1 - ( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})^2 = 1 \end{eqnarray*}$ rauskommt oder??

LG Luisa Tanzen

Tanzen

28.01.2009, 15:21

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu i):
Du hast oben geschrieben:

Zitat:

Original von crazyluisa33
und warum: $\begin{eqnarray*} a^{2^n} \end{eqnarray*}$ ??
ist doch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} a^{2n} \end{eqnarray*}$

Und das ist es eben nicht! Bei unserem Vorgehen ist es wichtig, dass der Exponent eine 2-Potenz ist. Wenn da auf einmal $\begin{eqnarray*} a^6-1 \end{eqnarray*}$ auftaucht, kann man zwar ohne Probleme zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a+1 \end{eqnarray*}$ auch ein Teiler dieses Elements ist, aber das haben wir eben nicht gemacht.
Das ganze sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} (1+a)(1-a)=1-a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-a^2)(1+a^2)= 1-a^4 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} (1-a^{(2^{n-1})})(1+a^{(2^{n-1})})= 1-a^{(2^n)} \end{eqnarray*}$
und darum ging es mir auch nur.

Zu ii): Man sieht, dass $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ ein Teiler von irgendeinem $\begin{eqnarray*} b^n \end{eqnarray*}$ ist und dieses $\begin{eqnarray*} b^n \end{eqnarray*}$ ist wieder eine Einheit. ( $\begin{eqnarray*} b_0b=1\Rightarrow b_0^nb^n=1 \end{eqnarray*}$ )
Eine Teiler einer Einheit ist dann ebenfalls eine Einheit.

Zu iii): Der Ring ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \mathcal{M}(2, \mathbb Z / 2 \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ , der Ring der 2x2-Matritzen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du statt der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix schreibst sieht das dann auch besser aus. Soweit OK Freude

Freude

Zitat:

Edit (Dual Space): Zeilenumbrüche eingefügt.

Dankeschön! Blumen

Blumen

28.01.2009, 15:36

crazyluisa33

Auf diesen Beitrag antworten »

ok also bei iii)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - ( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig ? smile

smile

LG Luisa

Tanzen

28.01.2009, 15:48

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte jetzt vor allem bei der Angabe von $\begin{eqnarray*} E+A \end{eqnarray*}$ und dessen Inversen, aber ja, genau so.

28.01.2009, 17:32

crazyluisa33

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ich hätt noch ma ne frage/idee zu i)

könn ich nich auch schreiben: $\begin{eqnarray*} ... (1-a^{\sqrt{n}}) (1+a^{\sqrt{n}} )= 1-a^n \end{eqnarray*}$
dann wäre ich genau da am ende, wo das erste ma $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ rauskommt und somit 0 wird...oder?

weil ich kann mir gut vorstellen, dass derjenige der diese aufgabe kontrolliert, es kritisieren wird, dass ich sozusagen viel zu weit therme angefügt habe...

also wäre es mit den wurzel auch richtig oder kompletter schwachsinnn.

und zu dem $\begin{eqnarray*} a^{2n} , a^{2^n} \end{eqnarray*}$ : ich glaub wir haben einfach aneinandervorbeigeredet^^

LG Luisa Tanzen

Tanzen

28.01.2009, 17:49

Reksilat

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} ... (1-a^{\sqrt{n}}) (1+a^{\sqrt{n}} )= 1-a^n \end{eqnarray*}$

Ich denke Du kennst die Potenzgesetze? Für $\begin{eqnarray*} n\neq 4 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} ... (1-a^{\sqrt{n}}) (1+a^{\sqrt{n}} )= 1-a^{2\cdot\sqrt{n}} \neq 1-a^n \end{eqnarray*}$
Forum Kloppe

Forum Kloppe

Im Exponenten sollten weder Wurzeln noch Brüche stehen, da immer erkennbar sein muss, dass es sich hier um natürliche Zahlen handelt. $\begin{eqnarray*} a^{(1/2)} \end{eqnarray*}$ ist in einem beliebigen Ring nunnmal nicht definiert.

Deshalb habe ich ja auch die Schreibweise $\begin{eqnarray*} a^{(2^{n})} \end{eqnarray*}$ angemahnt, denn dann kann man den Exponenten ohne Probleme immer weiter halbieren und kommt irgendwann auf $\begin{eqnarray*} a^1 \end{eqnarray*}$

Bei Bedarf schau ich nochmal drüber wenn's fertig ist.

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