LL^H-Zerlegung

25.01.2009, 23:59

tigerbine

LL^H-Zerlegung

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A=A^H \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ hermitisch.

Zeigen Sie, dass es genau dann eine untere Dreiecksmatrix L gibt mit $\begin{eqnarray*} A=LL^H \end{eqnarray*}$ , wenn A positiv semidefinit ist.

Richtung 1 würde ich durch einsetzten in das Skalaprodukt lösen.

$\begin{eqnarray*} \langle x,Ax\rangle =\langle x,LL^Hx \rangle = \langle L^Hx,L^Hx\rangle \geq 0 \end{eqnarray*}$

Was kann ich nun mit dem Umgekehrten wissen anfangen? Aufgrund der "Hermetie" Ups

sind die Eigenwerte alle reell. Ferner sind sie nicht negativ. Denn sei x ein Eigenvektor (inbesondere ist dann vom Nullvektor verschieden), so folgt:

$\begin{eqnarray*} \langle x,Ax\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = \lambda \langle x, x\rangle \stackrel{!}\geq 0 \end{eqnarray*}$

On ich nun irgendwie brauche, dass A ortogonähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, weiß ich nicht. Wäre hier positiv definit gegeben, wären wir ja bei der Cholesky Zerlegung. Der Algorithmus ist so aber nicht übertragbar, da es passieren kann, dass man durch 0 teilt. Muss man den Algorithmus nun anpassen oder einen ganz anderen Weg gehen?

edit:

Ich habe nun mal noch ein wenig überlegt. Mal sehen "was" nun aus mir spricht... Prost

.

Da A hermitisch ist, besetzt es eine Zerlegung der Art

$\begin{eqnarray*} A=QDQ^T \end{eqnarray*}$

wobei Q unitär ist und D eine Diagonalmatrix mit den reellen Eigenwerten. Da A semipositiv definit ist, kann man ohne weiteres die Wurzel ziehen und schreiben:

$\begin{eqnarray*} A=(QD^{\frac{1}{2}})({D^{\frac{1}{2}}}^TQ^T) \end{eqnarray*}$

Dabei sind die beiden Matrizen nun i.A. noch keine Dreiecksmatrizen. Nun könnte man aber die Rechte Matrix durch m Givensrotationen auf Dreiecksgestalt bringen. Natürlich muss man im Gegenzug auch die Inverse Matrix einbringen, die auf Grund der Orthogonalität gerade die Transponierte Matrix ist. Dabei notiere ich (abweichend von QR-Algorithmus) die Givensrotation formal mit ^T.

$\begin{eqnarray*} A=(QD^{\frac{1}{2}}G_1\hdots G_m)(G_m^T \hdots G_1^T{D^{\frac{1}{2}}}^TQ^T) \end{eqnarray*}$

Somit sollte es keine Probleme bei der Durchführung geben und die gewünschte Zerlegung ist gefunden.

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