LL^H-Zerlegung (2)

26.01.2009, 03:51

tigerbine

LL^H-Zerlegung (2)

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ hermitisch.

Zeigen sie, dass die Diagonaleinträge von L genau dann positiv sind, wenn A positiv definit ist

[Hier sollte die Existenz einer Zerlegung gezeigt werden. ]

A ist dann insbesondere regulär. Ferner besitzt a in diesem Fall eine Zerlegung der Art

$\begin{eqnarray*} A=LDL^H \end{eqnarray*}$

wobei L untere Dreiecksmatrizen sind, deren Diagonalelemente gleich 1 sind. Das Cholesky-Verfahren beruht nun darauf, da in diesem Fall die Diagonalelemente von D strikt positiv sind, dass man die Wurzeln daraus zieht und so eine $\begin{eqnarray*} LL^H \end{eqnarray*}$ erhält. Man hätte imho aber genauso gut die negativen Wurzeln ziehen können. Somit ist obige Behauptung imho falsch.

Ich versuche es an einem Beispiel zu erläutern. Im Grunde ließe es sich schon mit der Einheitsmatrix widerlegen. Um nicht nur Diagonalmatrizen zu haben, nun also:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&2&-1 \\ 2&5&0 \\ -1&0&9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&1&0 \\ -1&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&-1 \\ 0&1&2 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} =LDL^H \end{eqnarray*}$

Teilt man die Diagonalmatrix mit pos. Wurzlen auf, so erhält man die Choleskyzerlegung:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 2&1&0 \\ -1&2&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&-1 \\ 0&1&2 \\ 0&0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings wäre auch diese Darstellung möglich:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}-1&0&0 \\ -2&-1&0 \\ 1&-2&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&-2&1 \\ 0&-1&-2 \\ 0&0&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit können imho die Diagonalelemente durchaus negativ sein, auch wenn A positiv definit ist.

Über Stellungnahmen freue ich mich. Wink

30.01.2009, 18:56

tigerbine

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RE: LL^H-Zerlegung (2)
Vermutung stimmt. Eindeutigkeit erreicht man nur über die Vorgabe der Vorzeichen von L.

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