Newtonverfahren bei nichlinearem GS

27.01.2009, 22:45	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonverfahren bei nichlinearem GS Hallo, es geht um das folgende Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} xe^y-1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xy^2+x-y-2=0 \end{eqnarray}$ Nun soll man den ersten Schritt des Newtonverfahrens mit dem Startwert (x0,y0)=(0,0) durchführen. Meine Lösung: Nach $\begin{eqnarray} x_{k+1}=x_k-J_f(x_k)^{-1} \cdot f(x_k) \end{eqnarray}$ gilt demach: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mehr ist es doch nicht oder ?
27.01.2009, 23:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newtonverfahren bei nichlinearem GS Also ich sag es gleich, mehrdimensionale Analysis ist nichts was ich gerne mag. Ich würde bei solchen Aufgaben gerne immer noch ein paar Bemerkungen lesen. Dann kann man auch leichter sehen, welche Sätze angewendet wurden. Gegeben ist ein nichtlineares Gleichungssystem. Daraus bastelt man sich eine (reelle) Funktion $\begin{eqnarray} F:\mathbb R^2 \to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F\Bigl( \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \Bigr):= \begin{pmatrix}f_1(\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} )\\f_2(\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}xe^y -1\\xy+x-y-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Lösen des Gleichungssystems ist also äquivalent zur Nullstellenbestimmung von F. Dieses soll mit dem mehrdimensionalen Newtonverfahren geschehen. Deine Bezeichnung x ist mehr als unglücklich gewählt. Das ist eben das Problem, dass wir so wenige Buchstaben haben. $\begin{eqnarray} z \in \mathbb R^2,~z:=\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{k+1} = z:k - J_F(z_k)^{-1}F(z_k) \end{eqnarray}$ Wir müssen also die Jacobi-Matrix von F bestimmen. Die würde ich auch erstmal angeben. $\begin{eqnarray} J_F(z_k) = \begin{pmatrix} \frac{\delta f_1}{\delta x} & \frac{\delta f_1}{ \delta y} \\ \frac{\delta f_2}{ \delta x} &\frac{\delta f_2}{ \delta y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^y & xe^y \\ y^2+1 & 2xy-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Führt man dies nun für den angegeben Startvektor, Nullvektor, durch, sollte man deine Rechnung erhalten. Die Inverse ist in solchen Fällen hoffentlich immer "einfach" bestimmbar. So, das wäre mein Kommentar.
27.01.2009, 23:22	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, das reicht mir auch schon Bin gelegentlich immer etwas schreibfaul, das geb ich zu Danke fürs Drüberschauen. Gruß
27.01.2009, 23:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann an allem arbeiten, auch an einer "Schreibblockade".

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