Binomialkoeffizient berechnen

28.01.2009, 03:43

Rudolf

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Binomialkoeffizient berechnen

Folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} {{{{n}\choose{2}}}\choose{2}} \end{eqnarray*}$

mein rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \frac{{{n}\choose{2}}}{1} \cdot \frac{{{n}\choose{2}}-1}{2} = \frac{\frac{n}{1} \cdot \frac{n-1}{2}}{1} \cdot \frac{(\frac{n}{1}\cdot\frac{n-1}{2})-1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{\frac{n(n-1)}{2}-1}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{n(n-1)}{4}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n^2-n)^2}{8}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

das ergebnis lautet aber

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{4}\cdot(\frac{n(n-1)}{2}-1) \end{eqnarray*}$

kann mir jmd sagen was ich falsch gemacht habe?

28.01.2009, 03:54

tigerbine

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RE: Binomialkoeffizient berechnen
Du musst doch nur in die Definitionen einsetzen. Löse von innen nach außen auf

$\begin{eqnarray*} {{{{n}\choose{2}}}\choose{2}} = \frac{(\frac{n!}{2!(n-2)!})!}{2!(\frac{n!}{2!(n-2)!}-2)!} \end{eqnarray*}$

28.01.2009, 04:04

Rudolf

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dank

aber wie soll ich bitte n! rechnen? das geht doch gar nicht, weil man nicht weiß wie groß n werden soll.

aber erkläre es mir bitte wie das gehen soll.

und es wäre auch nett, wenn du mir meinen lösungsweg versuchst zu erklären. der müsste auch gehen.

28.01.2009, 04:11

tigerbine

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Schon mal auf die Uhr geschaut? Ich werde bestimmt nicht mehrere Wege noch erläutern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ferner spielt der konkrete Wert von n keine Rolle, man muss nur mal die Fakultät als Produkt hinschreiben. Da lässt sich viel wegkürzen.

Wenn du es nicht siehst, dann mach d dir klar, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2!(n-2)!} \end{eqnarray*}$

nur eine ganze Zahl ist. Probier es mal aus, dann siehst du, was du kürzen kannst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2009, 04:21

Rudolf

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sry ich sehe es nicht. kann auch daran liegen dass ich müde bin.

habe hier nur

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2!(a-2)!} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a=\frac{n!}{2(n-2)!} \end{eqnarray*}$

28.01.2009, 04:24

tigerbine

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Denk einfach nochmal drüber nach. Mit dem Was ich dir hingechrieben habe bis du in zwei schritten bei der angegeben Lösung. Du musst lernen, es zu sehen.

Tipp für den Zähler

$\begin{eqnarray*} 5!=5\cdot (5-1) \cdot (5-2)! \end{eqnarray*}$

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28.01.2009, 05:12

Rudolf

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sry ich checks noch immer net

eine 5! ist etwas anderes als eine n!

ich müsste wissen wie groß sei sein soll, damit ich dein beispiel nutzen kann

28.01.2009, 08:18

outSchool

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RE: Binomialkoeffizient berechnen

Zitat:

Original von Rudolf
Folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} {{{{n}\choose{2}}}\choose{2}} \end{eqnarray*}$

mein rechenweg:
. . .
kann mir jmd sagen was ich falsch gemacht habe?

Hallo,
nutze folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{n\cdot (n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} {{{\frac{n\cdot (n-1)}{2}}}\choose{2}} = \begin{pmatrix} Q \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{Q\cdot (Q-1)}{2} = \frac{(\frac{n\cdot (n-1)}{2})(\frac{n\cdot (n-1)}{2}-1)}{2} \end{eqnarray*}$

28.01.2009, 08:46

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Zitat:

Original von Rudolf
$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{\frac{n(n-1)}{2}-1}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{n(n-1)}{4}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

[...]

kann mir jmd sagen was ich falsch gemacht habe?

Allerdings: Du hast beim Übergang von links nach rechts vergessen, ordentlich Klammern zu setzen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{\frac{n(n-1)}{2}-1}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot \left[ \frac{n(n-1)}{4}-\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ .

Man predigt es immer und immer wieder, und es geht doch zum einen Ohr rein und zum anderen raus. unglücklich

unglücklich

28.01.2009, 13:22

tigerbine

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Zitat:

Original von Rudolf
eine 5! ist etwas anderes als eine n!

Herrje, dass sollte ein Beispiel sein, damit du vielleicht kapierst, wie man die Fakultät umschreiben muss, damit man kürzen kann...

29.01.2009, 22:32

Rudolf

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tigerbine ,

ja schön, aber du merkst schon, dass ich einfach zu doof bin deiner erklärung zu folgen.

wäre also sehr nett, wenn du mir deinen weg erklärst. danke!

29.01.2009, 22:52

tigerbine

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Entschuldige, aber ich zweifle deine Hochschulreife stark an.. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} {{{{n}\choose{2}}}\choose{2}} = \frac{(\frac{n!}{2!(n-2)!})!}{2!(\frac{n!}{2!(n-2)!}-2)!} = \frac{(\frac{n!}{2!(n-2)!})(\frac{n!}{2!(n-2)!}-1)(\frac{n!}{2!(n-2)!}-2)!}{2!(\frac{n!}{2!(n-2)!}-2)!} \end{eqnarray*}$

Das ist das was ich mit der 5! klar machen wollte.

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{n!}{2!(n-2)!})(\frac{n!}{2!(n-2)!}-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Den nutzen wir nun eben nochmal. Auch Outschool hat nochmal darauf hingewiesen

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{n(n-1)}{2})(\frac{n(n-1)}{2}-1)}{2} \end{eqnarray*}$

und dann steht es auch schon da....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{4}\cdot(\frac{n(n-1)}{2}-1) \end{eqnarray*}$

Wenn du es nun immer noch nicht einsiehst, kann ich dir nicht mehr helfen.

29.01.2009, 23:45

Rudolf

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ah ok, jetzt sehe ich es auch. genialer trick. wäre niemals drauf gekommen!

naja wegen der hochschulreife: ich zweifle es manchmal selber an, aber was solls. ich muss schließlich auch von irgendetwas leben^^

30.01.2009, 00:05

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Beiläufig bemerkt, kann man das Endergebnis etwas eleganter schreiben:

$\begin{eqnarray*} \binom{\binom{n}{2}}{2} = 3\cdot \binom{n+1}{4} \end{eqnarray*}$ Wink

Wink

30.01.2009, 00:32

Rudolf

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Beiläufig bemerkt, kann man das Endergebnis etwas eleganter schreiben:

$\begin{eqnarray*} \binom{\binom{n}{2}}{2} = 3\cdot \binom{n+1}{4} \end{eqnarray*}$ Wink

Wink

und wie hast du das ergebnis hergeleitet?

30.01.2009, 00:34

AD

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Ich schreib jetzt nicht nochmal alles hin, das meiste steht oben. Es fehlt lediglich der Baustein

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2}-1 = \frac{n^2-n-2}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2} \end{eqnarray*}$

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