Fixpunkt mit Cosinus

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt mit Cosinus
Zitat:
Man zeige, dass die Iteration



für alle gegen den einzigen Fixpunkt konvergiert.

Quelle: Stoer,Burlisch 10. Auflage


Aus den Formulierungen heraus, würde ich es mit dem Banachschen Fixpunktsatz versuchen. Banachraum ist gegeben, die abgeschlossene Teilmenge fehlt, da es für alle reellen Startwerte gehen soll. Da nun aber gilt:



würde ich sagen, dass man o.b.d.A annehmen kann, in diesem Intervall zu starten. Denn mit einen Startwert außerhalb landet man danach in diesem Intervall und wird es auch nicht mehr verlassen. Somit ist auch die Selbstabbildung garantiert. Bleibt die Kontraktion zu zeigen. Man benutzt den Mittelwertsatz der Differentialrechnung und schätzt die erste Ableitung ab.





Der Sinus ist eine zu (0/0) punktsymmetrische Funktion und auf dem Intervall streng monotn steigend. Daher gilt die Abschätzung:



Somit erhalten wir mit die gesuchte Kontraktionskonstante.


Kann man das so machen? Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkt mit Cosinus
Hallo ... Ups
sdfds Auf diesen Beitrag antworten »

Jupp, sehe keinen Fehler! Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung. Wink
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