Nachweis von Vektorräumen?

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phygirl Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis von Vektorräumen?
Hallo,
ich weiß, dass es haufenweise im Internet zum Thema nachweis von Vektorräumen gibt, aber ich blicke da überall nicht so ganz durch unglücklich und deswegen wollte ich noch mal explizit nachfragen.

Also ich soll Zeigen, dass verschiedene Sachen Vektorräume sind:

1)
und wenn ich sage v, u
und

also

Reicht das???

2) ist
Das ist kein Vektorraum, weil nicht

Soweit bin ich schon gekommen, aber die letzten beiden Aufgaben, nämlich





und





Kann mir jemand vielleicht bei den Polynomen helfe? Und welchen Unterschied macht es, ob a_3 Null sein kann oder nicht?

sind meine ersten Aufgaben überhaupt richtig???

VIELEN DANKE im vorraus
phygirl
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis von Vektorräumen?
Wie lauten denn die VR-Axiome?
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

naja, dass

sowohl die Addition von zwei Elementen im Raum, als auch die skalare Multiplikation mit einer Reelen Zahl nicht aus dem Raum raudführt (ich glaube es gibt noch mehr, aber die müssen wir nicht zeigen) ...

ich dachte dass ich das bei den ersten beiden gemacht habe, aber die Polynome versteh ich nciht unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das sind die UnterVektorraum Axiome. Wir brauchen erstmal die abelsche Gruppe und die Definition der Skalarmultiplikation. http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

Also von Abelschen Gruppen habe ich noch nie was gehört unglücklich
Und auf unseren Übungszettel steht explizit:

Zur Erinnerung: In einem Vektorraum über R muss man zwei beliebige Elemente addieren und mit einer reellen Zahl multiplizieren können, ohne den Raum zu verlassen.

Deswegen dachte ich, dass das reicht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgaben sind auch nicht schwer, aber wenn ich einen Vektorraum nachweisen will, dann muss ich schon die Definition zeigen.

In einem VR gilt das von dir gesagte. Das kannst du aber nur Umkehrschluss als Beweis nehmen, also wenn es nicht gilt, dann ist es auch kein VR.

Aber wenn ihr das so machen sollt, will ich dir da nicht reinreden....

Dennoch musst du hier angeben, was man Prüfen soll. Also woraus stammen die Vektoren, woraus die skalare.
 
 
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nciht was du meinst.
Die Vektoren sind doch angeben, also im letzten Fall z.B. Polynome, oder irre ich mich da? Und der Skalar soll reel sein??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum muss man seine Zeit damit vertun, die Aufgabenstellung zu klären. unglücklich Ich brauche 2 Angaben bei einem Vektorraum. Im ersten Fall soll das wohl sein



Das ist bekanntlich ein VR, der nachweis sollte dir gelingen.Beweise eben eure Testkriterien. Fertig.

Fall 2. Was soll da was sein? Die Vektoren, der Skalarkörper...Du hast nur hingeschrieben:



Und bei Fall 3. Da sind die Vektoren Polynome. Was soll der Skalarkörper sein?
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde es ein bisschen unfair. wenn ich die Sache mit den Vektorräumen verstehen würde, würde ich nicht fragen. Ich bin im ersten Semester und leider mit Mathe überfordert.

und ich hatte geschrieben:

Zitat:
In einem Vektorraum über R muss man zwei beliebige Elemente addieren und mit einer reellen Zahl multiplizieren können, ohne den Raum zu verlassen.



und das heißt doch, dass wir Vektorräume über bilden sollen und dass die skalare Multiplikation mit reelen Zahlen gemacht werden soll.

Im zweiten Fall sollen wir zeigen, oder eben nicht dass ein Vektorraum ist.

Du hast geschrieben:
Zitat:
Beweise eben eure Testkriterien


Ist ja schön und gut. Aber nehmen wir an wir haben wie zeige ich denn dann das in ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm es mir bitte nicht übel. Aber wenn man über ein "Objekt" spricht, so ist das erste was man tun sollte, sich seine Definition anzuschauen. Danach habe ich im ersten Post gefragt. Wenn du dann sagt, du weißt nicht was eine eine abelsche Gruppe ist, macht es fast schon keinen Sinn weiter zu reden. Zumindest so lange, bis du dieses Wissen aufgefüllt hat.

Ferner entnimmt man schon deiner Schreibweise im ersten Post, dass du nicht weißt, woraus ein VR besteht.

Ich reagiere deswegen so barsch, weil ich die Vermutung habe, dass hier mal wieder nicht die komplette Aufgabenstellung gepostet wurde, sondern nur das was du daraus für relevant hältst. Wie du aber selbst sagst, du hast noch nicht so viel Ahnung von dem Thema. Noch nicht. Augenzwinkern

Zitat:
sowohl die Addition von zwei Elementen im Raum, als auch die skalare Multiplikation mit einer Reelen Zahl nicht aus dem Raum raudführt


Steht das so auf eurem Übungszettel? Dann würde ja generell IR als Skalarkörper verwendet werden sollen. Ist dem so? Dann können wir weitermachen. Augenzwinkern
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

also ich möchte sagen, dass ich Ernährungswissenschaften studiere und kein Mathe. Und wir haben in der Vorlesung definitiv nichts zu Abelschen Gruppen gemacht.

Die Aufgabenstellung (Copy und Paste vom Übungszettel ist): Sind folgende Mengen Vektorräume über R Begründen Sie ihre Antwort. Falls ja,
bestimmen Sie die Dimension des Vektorraumes und geben Sie eine Basis an. (Zur
Erinnerung: In einem Vektorraum über R muss man zwei beliebige Elemente addieren
und mit einer reellen Zahl multiplizieren können, ohne den Raum zu verlassen.)

Und mit Mengen sind der R^4, Z, und die Polynome gemeint.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phygirl
Sind folgende Mengen Vektorräume über R Begründen Sie ihre Antwort. Falls ja,
bestimmen Sie die Dimension des Vektorraumes und geben Sie eine Basis an. (Zur
Erinnerung: In einem Vektorraum über R muss man zwei beliebige Elemente addieren
und mit einer reellen Zahl multiplizieren können, ohne den Raum zu verlassen.)

Und mit Mengen sind der R^4, Z, und die Polynome gemeint.


Dann gib die Rüge an den Übungsgruppenleiter weiter. Wenn ihr schon VR behandelt, warum dann nicht richtig. Menge zu sein reicht bei weitem nicht aus. Denn das was du hingeschrieben hast, sind weit aus mehr als Mengen. Denn Auf einer Menge ist i.A. keine Addition definiert, geschweige denn eine Skalarmultiplikation. Das sollen wir hier wohl alles als schon gegeben annehmen. Sorry, aber dann könnten wir genauso gut einfach hinnehmen, was VRs sind und was nicht. Sinnlose Aufgabe.



Wir greifen immer wieder auf die Körpereigenschaften von IR zurück, damit bleiben wir bzgl + und * immer im "VR"

Die Dimension ist 4. Eine Basis darfst du dir überlegen



Z ist nun auch eine abelsche additive Gruppe. "+" macht also keine Probleme. Nur wie soll man eine Skalarmutiplikation mit IR definieren. Z ist eine Teilmenge von IR, also machen wir das ganz "normal" Dabei ist dann auch klar, dass wir, wenn der Skalar in IR\Z liegt, wir aus der "Menge" rausfliegen. Also kein VR.

Polynome können wir uns so vorstellen, dass wir sie Komponentenweise bzgl. der Koeffizienten addieren. Die Koeffizienten sollen hier wohl auch reelle Zahlen sein. Da keine Höchste Potenzangegeben ist, füllen wir also mit Nullen auf. Das es ein VR ist folgt wieder nur aus den Eigenschaften der Reellen Zahlen. Die Dimension ist unendlich. Dennoch kann man eine Basis "angeben".

Wie würde es denn für den IR-VR der reellen Polynom mit Maximalgrad 2 aussehen? Wie würde da eine Basis aussehen?
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

wäre die Basis sowas wie { x^2, x, 1} ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Nennt sich Monombasis.
phygirl Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich noch mal was fragen?


zu meinen Aufgaben:

also die Polynome dritten Grade:

sind ein Vektorraum.

aber wenn ich

habe dann ist das kein Vektorraum, weil vor dem kein Faktor steht, und es deswegen nicht mit der skalaren Multiplikation klappt???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Schon die Addition würde nicht mehr klappen.
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