Abbildungsmatrizen und Basen

30.01.2009, 21:46

Bjoern1982

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Abbildungsmatrizen und Basen

Hallo,

ich hänge die AUfgabe erstmal nur unten an, da es mir im Prinzip auch nur um das Verständnis ankommt, gerechnet habe ich glaube ich schon genug und das möchte ich erst wieder in der Klausur tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok dann mal meine Gedanken zu den einzelnen Aufgabenteilen:

a) Wohl nur zeigen dass alle Eigenwerte größer als null sind oder ?

b) keine AHnung, ich sehe keine konkreten Basisvektoren, nur deren Bilder verwirrt

verwirrt

c) Bin mir nicht mehr ganz sicher, auf jeden Fall nun eine Abbildungsmatrix bzgl der Basis E aufstellen - ich denke mal dadurch dass man jeden Spaltenvektor vom M_B(f) als Linearkombination von e1,e2,e3 darstellt und das dann spaltenweise in eine Matrix schreibt.

d) Fehlt da nicht was in der Aufgabenstellung, es geht doch sicher um die neue Abbilsungsmatrix M_E(f) denn bei M_B(f) ist ja nichts mit zueinander orthonormalen Spaltenvektoren...

e) Beim ersten Teil zeigen, dass dim Kern(A) =1 ist, bei dem Komplement weiss ich nicht so richtig wie man das angibt.

Kann mir jemand helfen ?

30.01.2009, 21:52

tigerbine

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RE: Abbildungsmatrizen und Basen
Teil a machen wir, um was zu zeigen? Erinnere dich an meine Nachfrage von gestern. Was kann man den mit einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform erzeugen? Dann ist auch klar, warum (V,ß) ein euklidischer VR ist.

(Nachweis ist hier einfach, wegen der Symmetrie. Das Spektrum ist dann hier reell und darf nur positive EW haben.)

Soweit klar?

30.01.2009, 22:11

Bjoern1982

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Zitat:

Teil a machen wir, um was zu zeigen?

um zu zeigen dass für alle Vektoren x ungleich dem Nullvektor aus V gilt, dass $\begin{eqnarray*} x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ oder was meinst du genau ?

Zitat:

Was kann man den mit einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform erzeugen?

Ein Skalarprodukt zum Beispiel verwirrt

verwirrt

Und das macht ja einen euklidischen VR aus wenn ich nicht irre...

(Sorry wenn die ANtworten gerade etwas dauern, Bundesliga geht wieder los Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

30.01.2009, 22:16

tigerbine

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Nein, Teil a machen wir um einzusehen, dass ß ein Skalarprodukt ist. Symmetrie ist klar, Bilinear wird uns geschenkt, pos. Definit sollen wir beitragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und in b) statten wir nun den VR mit ß aus und machen ihn zu einem euklidischen VR. Den GS-Algo solltest du kennen, nur nehmen wir nun nicht die euklische Norm um das SP zu induzieren, sondern das ß.

Bzgl. dem ß sollen wir mit GS aus der Basis B eine Orthonormalbasis e machen. Aber wir geben alle Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl. B an. Also "so wie immer", nur würde ich das eben immer im Index notieren. Im Standardfall - Standardeinheitsbasis- lässt man das weg, wird ja lästig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

9min to go. Führt deine Mannschaft oder liegt sie zurück?

30.01.2009, 22:35

Bjoern1982

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Ich schnalls leider nicht nicht...vielleicht muss ich den Fernseher leiser machen geschockt

geschockt

Ich sehe keine konkrete Basisvektoren und selbst wenn ich mir die Standardbasis nehme dann ist diese doch eh schon orthonormal verwirrt

verwirrt

Eine Lieblingsmannschaft hab ich gar nicht, bin einfach Fussballfan Prost

Prost

30.01.2009, 22:58

tigerbine

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Hab nicht gesehen, dass du geantwortet hast. Bleiben wir mal bei A, wie würdest du denn alternativ, ohne EW, nachweisen, dass die Matrix positiv definit ist... Da gibt es so ein Kriterium für symmetrische Matrizen... Hat was mit Determinanten zu tun.

Da stehen keine konkreten Vektoren, sondern b1,b2,b3. Nun, und so funktionieren doch Koordinatensysteme, kann ich doch sagen:

$\begin{eqnarray*} b_1=(1,0,0,)_B^T,~b_2=(0,1,0)^T_B, b_3=(0,0,1)^T_B \end{eqnarray*}$

Was kommt denn nun raus, wenn man da mal die skalaprodukte mit ß bildet. Sind die da orthogonal oder nicht?

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30.01.2009, 23:20

Bjoern1982

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Du meinst bestimmt das oder ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Positiv_definit#Hauptminoren

Wenn ich das richtig verstanden habe müssten dann also die Determinanten der Matrizen (1) und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ positiv sein.

Zitat:

Was kommt denn nun raus, wenn man da mal die skalaprodukte mit ß bildet. Sind die da orthogonal oder nicht?

Kommen dann ja Skalare raus oder ? Sprich also die Diagonaleinträge von $\begin{eqnarray*} M_B(\beta) \end{eqnarray*}$ , welche - als eindimensionale Vektoren betrachtet - sicher nicht orthonormal sind.

30.01.2009, 23:26

tigerbine

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Genau das Kriterium meinte ich. Manche nennen es auch Hurwitzkriterium. Freude

Freude

du wolltest nicht mehr rechen, überwinde dich und rechne mal $\begin{eqnarray*} \langle b_1,b_2\rangle_{\beta} \end{eqnarray*}$ aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sicher kommen da Elemente aus dem Körper raus. Es ist ja eine "Linearform". Aber welches Körperelement müsste denn raus kommen, wenn Vektoren orthogonal sind?

31.01.2009, 01:33

Bjoern1982

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Hehe, naja zumindest wenn es um Eigenwerte und Eigenräume geht.
Wenn es um Dinge geht, die ich noch nie gemacht habe ist das natürlich Quatsch.

Also ich habe mal rumgerechnet und bin auf das hier gekommen:

$\begin{eqnarray*} e_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_2= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_3= \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kam auch überall bei den 3 zu prüfenden Skalarprodukten null raus also scheints zu passen Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2009, 01:37

tigerbine

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Dann wollen wir mal hoffen, dass es stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist nun in Aufgabe c) also zu tun?

31.01.2009, 01:40

Bjoern1982

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Meinen Vorschlag habe ich ja gepostet, ist das so richtig ?

31.01.2009, 01:43

tigerbine

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Ich habe es nicht nachgerechnet, wollte ich damit sagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber wenn du mit dem SP die Probe gemacht hast, sollte es doch stimmen. Gehen wir weiter zu c.

31.01.2009, 01:45

Bjoern1982

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Big Laugh

Meine Antwort bezog sich auch nur auf den Teil:

Zitat:

Was ist nun in Aufgabe c) also zu tun?

eben weil ich oben ja schon meinen Vorschlag gepostet hatte:

Zitat:

c) Bin mir nicht mehr ganz sicher, auf jeden Fall nun eine Abbildungsmatrix bzgl der Basis E aufstellen - ich denke mal dadurch dass man jeden Spaltenvektor vom M_B(f) als Linearkombination von e1,e2,e3 darstellt und das dann spaltenweise in eine Matrix schreibt.

smile

31.01.2009, 01:48

tigerbine

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Also, wir sollen einen Basiswechsel durchführen. Dazu gibt es einen Artikel hier. Wir haben E ja schon in Koordinaten von B angegeben.

[Artikel] Basiswechsel

Was bekommt du als Basiswechselmatrizen, was als neue Abbildungsmatrix?

31.01.2009, 02:25

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} M_E^B=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_B^E=(M_E^B)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_E(f)=M_B^E \cdot M_B(f) \cdot M_E^B=\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \sqrt{3} & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.01.2009, 02:44

tigerbine

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Werde das morgen nachrechnen. Schläfer

Schläfer

(d) Überleg da deine Antwort nochmal. Wir haben nur eine Ähnlichkeitstransformation gemacht. Also was haben wir nicht verändert?

(e) Wenn 1 nur eine einfache Nullstelle ist, so ist die Dimension auch nur 1. Du brauchst dann 2 Vektoren, die auf dem EW orthogonal stehen.

31.01.2009, 03:01

Bjoern1982

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Zitat:

(d) Überleg da deine Antwort nochmal. Wir haben nur eine Ähnlichkeitstransformation gemacht. Also was haben wir nicht verändert?

Hmm joa alles was bei 2 ähnlichen Matrizen so gleich bleibt...Det, Spur, Eigenwerte...etc

Dieser Satz löst das Problem glaube ich:

"Eine Abbildung ist genau dann orthogonal, wenn ihre Matrixdarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis eine orthogonale Matrix ist"

Wobei normiert sind die Spaltenvektoren von M_E(f) ja nicht unglücklich

unglücklich

Zitat:

(e) Wenn 1 nur eine einfache Nullstelle ist, so ist die Dimension auch nur 1. Du brauchst dann 2 Vektoren, die auf dem EW orthogonal stehen.

Ok, das klingt einleuchtend.

Danke schonmal bis dahin Wink

Wink

Gute Nacht und bis morgen Schläfer

Schläfer

31.01.2009, 13:54

tigerbine

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RE: Abbildungsmatrizen und Basen
So, ich hab mir noch einmal Gedanken gemacht. Hast du noch mal Übung? Oder email von einem Tutor, dann würde ich das nochmal abklären lassen. Da wir unseren VR nicht mit de. StandardSP ausstatten, können wir imho nicht sagen, dass die Inverse von M die Transponierte ist. Nachrechnen sollte dies auch bestätigen. Bitte frage dies einmal nach! Ferner hat A nicht nur reelle Eigenwerte, wir betrachten hier aber einen reellen VR.

Also gehen wir mal weg von den ganzen Darstellungen mit Matrizen und gehen in die erste Definition eines ortogonalen Endomorphismus.

$\begin{eqnarray*} \langle F(v),F(w) \rangle = \langle v, w \rangle \end{eqnarray*}$

Insbesondere folgt (ACHTUNG! Noch kein für orthogonal):

$\begin{eqnarray*} \|F(v)\| = \|v\| \end{eqnarray*}$

Definieren wir uns B mit Einheitskoordinaten. Dann lesen wir die Bildvektoren ja direkt aus der Matrix ab. Nun lassen wir mal das SP auf alle los.

$\begin{eqnarray*} \langle b_1, b_1 \rangle =1, \langle b_2, b_2 \rangle =2, \langle b_3, b_3 \rangle =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle F(b_1),F(b_1) \rangle =1, \langle F(b_2),F( b_2) \rangle =2, \langle F(b_3),F(b_3) \rangle =2 \end{eqnarray*}$

D.h. F läßt die längen der Bilder der Baisvektoren unverändert. Damit würde ich behaupten, ist F längentreu, da man alle Vektoren als LK der Basis darstellen kann. Es gibt einen Satz, der sagt, dass diese Eigenschaft im Umkehrschluss auch sagt, dass F orthogonal ist. Mit anderen Eigenschaften gilt das nicht! (Vgl. Fischer)

Schon mit der ersten Matrix können wir das Charakteristische Polynom bestimmen. Mit Einheitswurzeln ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \chi_f(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \stackrel{\mathbb C} = (x-\omega_3^0)(x-\omega_3^1)(x-\omega_3^2) \end{eqnarray*}$

Somit bestätigt sich auch, dass die Eigenwerte den Betrag 1 haben. Ferner, dass der Eigenraum zu x=1 die Dimension 1 hat. Imho muss man nur 2 orthogonale Vektoren zum EV von 1 angeben, um den orthogonalen Raum zu erzeugen. Das müssen imho keine EV sein.

So, dass M_B positiv definit ist, hatten wir schon gezeigt. Da würde ich das Hurzwitzkriterium nehmen. Das Charpoly sieht nicht so schön aus. Alle Hauptabminoren sind hier gleich 1.

Ich hatte nun gehofft, dass uns b und c eine deutlich schönere Darstellung von f liefern würden, dass man nicht den obigen Theorieweg gehen muss. Ich hatte auf eine fast Diagonalform gehofft. Aber es ist ja nicht gesagt, dass unser Gram-Schmidt Ansatz die ONB der Eigenvektoren liefert.

So müssen wir ganz normal wieder alles durchrechnen.

31.01.2009, 14:57

tigerbine

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RE: Abbildungsmatrizen und Basen
So ich habe das mal nachgerechnet. Dein Werte stimmen nicht. Die neue Basis lautet:

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0)^T,~e_2=(-1,1,0)^T,~e_3=(1,-1,1)^T \end{eqnarray*}$

Die sind normiert bzgl. ß. Dann den Basiswechsel machen:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:

Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [-1,1,0]
Vektor 3: [1,-1,1]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [-1,1,0]
Vektor 3: [1,-1,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [1,0,0;-1,-1,-1;1,1,0]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1    -1     1
     0     1    -1
     0     0     1
M1 =
     1     0     0
    -1    -1    -1
     1     1     0
TI =
     1     1     0
     0     1     1
     0     0     1
M2 =
     0    -1     0
     0     0    -1
     1     0     0

So sehen wir dann auch sehr schnell das char Polynom mit x³-1. Damit wissen wir, dass die dritten Einheitswurzeln die Lösungen sind und wir ehralten mit x=1 die einzig reelle Lösung und den eindimensionalen VR.

31.01.2009, 15:51

Bjoern1982

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Zitat:

So ich habe das mal nachgerechnet. Dein Werte stimmen nicht. Die neue Basis lautet:

Ja gut, weil ich eben dachte ich müsse das noch wie sonst auch normieren, deswegen die WUrzeln, weil ich mich nicht auf beta bezogen habe.
Setzt man die Vektoren e1,e2,e3 in beta ein kommt tatsächlich überall 1 raus smile

smile

Ansonsten wäre ich wohl auch auf dein Ergebnis von unten gekommen, denn so wie ich das sehe, war die Vorgehensweise, wie ich die Basiswechselmatrizen aufstelle scheinbar korrekt.

Zitat:

So, ich hab mir noch einmal Gedanken gemacht. Hast du noch mal Übung? Oder email von einem Tutor, dann würde ich das nochmal abklären lassen. Da wir unseren VR nicht mit de. StandardSP ausstatten, können wir imho nicht sagen, dass die Inverse von M die Transponierte ist. Nachrechnen sollte dies auch bestätigen. Bitte frage dies einmal nach!

Nein, habe keine Übung mehr - Klausur ist am Donnerstag.
Ich kann aber versuchen dem Professor mal eine Mail mit dem Problem zu schreiben (er selbst leitet das Tutorium)
Jedoch weiss ich noch nicht genau worauf die dich beziehst, um welches M geht es und um welche Inverse. Meinst du an der Stelle von man e1 bis e3 spaltenweise in eine Matrix schreibt ?

Zitat:

D.h. F läßt die längen der Bilder der Baisvektoren unverändert. Damit würde ich behaupten, ist F längentreu, da man alle Vektoren als LK der Basis darstellen kann.

Leuchtet ein, ich habe sowas auch letztens mal in einem LA 2 Skript gelesen bzw auch bei wiki meine ich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_1=(3,-2,1)^T \end{eqnarray*}$

Was ist nun, wenn man damit GS macht? Wie würde dann die darstellende Matrix aussehen? Das könntest du mal machen. Ich rechne derweil deinen anderen Weg nach.

Ich kenne GS nur so, dass man aus schon gegebenen Vektoren eine ONB erzeugen kann - soll ich mir dann einefach noch 2 linear unabhängige dazu dichten ?

Danke für deine Mühe smile

smile

31.01.2009, 15:56

tigerbine

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Zum basteln: Man hätte "einfach" zwei l.u. zu dem EV genommen und dann GS. Aber nun egal. Die Matrix hat ja nun, wenn man mit ß richtig rechnet, eine angenehme Gestalt.

Was ich mit nachfragen meinte. Es gibt des Satz, dass für orthogonale Matrizen gilt

$\begin{eqnarray*} U^{-1}=U^T \end{eqnarray*}$ (*)

Wir haben - mittels der Definition - gezeigt, dass wir hier eine orthogonale Matrix haben. (*) gilt hier aber imho nicht. Daher solltest du nachfragen, ob (*) nur gilt, wenn man bzgl. Standard SP orthogonal ist.

31.01.2009, 16:19

Bjoern1982

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Ok verstanden, ich werde ihm schreiben.

Alternativ kann man aber auch noch mit der entstehenden Matrix M_E(f) bzw bei dir M2 so argumentieren, dass diese zeilen und spaltenweise aus zueinander orthonormalen Vektoren besteht, sprich die entsprechenden Skalarprodukte null sind und die Vektorenlängen offensichtlich immer 1 beträgt - oder ?

Edit:

Bei Aufgabe e) erhalte ich als Basisraum für das orthogonale Komplement von E_f(1):

LH{(0;1;2),(-5;-6;3)}

den Vektor (0;1;2) habe ich durch Hinschauen gewählt und den anderen durch das Kreuzprodukt - das erschien mir in diesem Fall die einfachste, schnellste Lösungsmethode. Wenn mehrere Dimensionen im Spiel sind werde ich es dann wohl wieder mit GS machen müssen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stimmt das soweit ?

31.01.2009, 16:38

tigerbine

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Ja, mut M2 kannst du argumentieren.

Hier gilt nun:

$\begin{eqnarray*} I=M_E(f)^TM_E(f) \end{eqnarray*}$

Frage wäre, ob M1, wenn man V mit dem Standad SP ausgestattet hätte , auch orthogonal wäre. Eigentlich nicht. D.h. wenn wir eine MAtrix bekommen, müssen wir sie erst bzgl. einer ONB darstellen, bevor wir aussagen können, ob sie (in diesem VR) orthogonal ist.

31.01.2009, 16:46

Bjoern1982

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In Ordnung - das bleibt dann noch zu klären.

Hast du mein Edit wegen dem orthogonalem Komplement noch gesehen ?

31.01.2009, 16:57

tigerbine

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Muss meinen EV noch korrigieren. Der war zu M1. Wir müssen ja M2 nehmen. Löse das LGS

$\begin{eqnarray*} v_1=(1,-1,1)^T \end{eqnarray*}$

Dann wieder GS machen. Würde ich empfehlen.

31.01.2009, 17:10

Bjoern1982

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Jut jut, dann haben wir ja alles soweit würd ich sagen smile

smile

War für mich alles sehr aufschlussreich Freude

Freude

31.01.2009, 17:10

tigerbine

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Bis zur nächsten Aufgabe Wink

Wink

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