Basis Polynomraum

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01.02.2009, 13:42	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Polynomraum hab da ein problem mit einer aufgabe .. Zeigen Sie, dass die Funktion pj(x)= (x - xk)/(xj - xk) (polynom von k=0 bis n, k ungleich j) eine basis des polynomraumes \pi n bildet. einmal fehlt mir das verständnis für einen polynomraum. vektorraum versteh ich, aber polynomraum? und ich schätze mal ich muss zeigen dass die funktion linear unabhängig is, aber wie??
01.02.2009, 14:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum Würde mich mal mit dem Stichwort: Lagrange-Basis, Lagrange-Polynome beschäftigen.
01.02.2009, 17:55	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum das war ja schon mal ein guter tipp, danke reicht es dann für den beweis einfach die eigentschaft von den lagrangepolynomen also =1 falls i=j und =0 falls i ungleich j zu nehmen und daraus halt zu folgern, dass sie linear unabhängig sind? weil in der aufgabenstellung ja nichts von lagrange erwähnt wird Für den Fall i ungleich j ist das ja relativ eindeutig. für denn fall i=j folgt ja 0=1 * alphaj und daraus folgt ja dann alphaj =0
01.02.2009, 18:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum Das geübte Auge sieht Lagrange eben. Die Polynome liegen in dem Raum, haben alle den gleichen Grad n. Man muss nun zeigen, dass die n Polynome paarweise linear unabhängig sind. Was du da wwohl schreibst, ist nur der Wert de LP an den stellen x_j.... Da kann man brauchen, muss aber noch anders aufgeschrieben werden.
01.02.2009, 18:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum Das geübte Auge sieht Lagrange eben. Die Polynome liegen in dem Raum, haben alle den gleichen Grad n. Man muss nun zeigen, dass die n Polynome paarweise linear unabhängig sind. Was du da wwohl schreibst, ist nur der Wert de LP an den stellen x_j.... Da kann man brauchen, muss aber noch anders aufgeschrieben werden. Deine Argumentation ist bislang auf spezielle Stellen beschränkt, es muss aber für alle x gelten.
01.02.2009, 18:27	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum mhm ok, dann weiß ich da erstmal bescheid, muss es noch mal durchdenken. so wie es aussieht machen wir in unserer vorlesung auch nichts mehr mit Polynomräume, lagrange etc.... schade. kannst du mir vielleicht noch bei der nächsten Teilaufgabe helfen? hab glaub ich vom ganzen Tag ein dickes brett vorm kopf Stellen sie das Polynom p(x)= x³ - 4x² + 3x +2 als Linearkombination der Basiselemente p0, p1, p2, p3 aus teil 1 dar wobei xk= k für k=0,1,....,3 gewählt seien. dachte das wäre ganz einfach, aber irgendwie hackts gerade gewaltig. kannst mit vielleicht ein bsp geben?
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01.02.2009, 18:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum Deine Idee was mit den Polynomen passiert war ja schon gut. Das muss man auch benutzen. Es fehlt eben ein Satz, dass aus dem speziellen das Allgemeine folgt. was sind p0 & Co?
01.02.2009, 18:40	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum naja so wie ich das verstehe sind po &co die die lagrange polynome halt für j= 0,1,2,3 nur versteh ich jetzt nicht wie ich das mit meinem p(x)=x³-4x+3x+2 in verbindung bringen soll.
01.02.2009, 18:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum Das Problem ist, dass die LP von den Stützstellen abhängen. Ohne x0 etc. kann man das nicht lösen, da es ja mehrere LG-Basen gibt. Dir ist p in der Monombasis-Darstelung gegeben. Wir sollen einen Basiswechsel machen.
01.02.2009, 18:59	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum ??? also ganz am anfang der aufgabe steht halt noch x0,x1,...xn paarweise verschieden. für xk gilt ja =k=01,...,3 oh man kein plan mehr, mein kopf platzt...
01.02.2009, 19:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum Schau mal in den [WS] Polynominterpolation - Theorie dann weißt du was ich meine. Dass die x einen Index haben, macht sie ja nicht konkreter. Und dass sie paarweise Verschieden sind, ist auch klar. Ich habe jetzt keine Schnelle Formel für einen Basiswechel im Kopf. Bei konkreten Knoten hätte ich ausmultipliziert und einen Basiswechsel gemacht. Das geht sicherlich auch allgemein, aber das mag ich ehrlich gesagt im Moment nicht machen.
01.02.2009, 19:09	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Polynomraum ja gut, ich danke dir erstmal

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