Newton-Verfahren, eingeschriebene Körper

Neue Frage »

nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren, eingeschriebene Körper
Hallo

ich muss folgene Aufgabe lösen:

Einer Kugel mit dem Radius r=9cm soll ein Zylinder einbeschrieben werdern, dessen Inhalt ein Viertel des Kugelinhaltes beträgt. Welche Höhe h und welchen Radius R hat der Zylinder?

ich hab als Hauptbedingung:


und als Nebenbedingung:


ich wollte fragen, ob es bis hier richtig ist?!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Hi, bist Du sicher, dass das eine Extremwertaufgabe ist? Sieht für mich wie eine normale Stereometrie-aufgabe aus.
LG sulo

edit: Ich habe gerade entdeckt, wo das Max. ins Spiel kommt, meine Frage hat sich somit erledigt Augenzwinkern
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
okay. sind meine bedingungen richtig aufgestellt?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Da bin ich mir nicht sicher. Denn wenn Du ableitest und V'=0 setzt, bekommst Du doch einen Wert für das maximale Volumen raus. Besser geagt: mit diesen Bedingungen kannst Du (soweit ich das sehe) die Höhe (oder den Radius, je nachdem, wie Du es umstellst) für das maximale Volumen ausrechnen. Aber das Zylindervolumen ist doch gegeben ... verwirrt

Die Aufgabe gefällt mir insofern nicht, weil man viele Möglichkeiten für R und h hat (denn das Zylindervolumen beträgt nur 1/4 des Kugelvolumens), sie müssen ja nicht maximal sein.

Was mich außerdem irritiert, ist, dass nach DEM Radius und DER Höhe gefragt wird... Das wäre leichter, wenn nach dem max Volumen gefragt worden wäre.
Ich befürchte, dass ich möglicherweise eine einschränkende Bedingung nicht erkenne ...

Ich knobel noch eine Weile herum, vllt. hat sonst jemand eine gute Idee?

LG sulo
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
was mach ich denn nun? smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Eigentlich ist das Problem doch nur, welche Radius/Höhen Kombination läßt den Zylinder in die Kugel passen. Das Volumen der Kugel und des Zylinders sind bekannt. Frage ist, ob der Zylinder fest eingespannt sein muss, oder (sofern das Volumen es zuläßt) auch in der Kugel rumpurzlen dürfte.

Wenn man die Radien gleich wählt, so ist die Höhe offensichtlich 0. Nun schneiden wir die Kugel einmal durch den Mittelpunkt und erhalten somit das Schittbild eines Großkreises. Da überlegen wir uns nun mal einen Zusammenhang zwischen Radius und Höhe des Zylinders. Pythagoras sollte helfen. Somit haben wir am Ende - im Berührenden Fall - nur noch eine Unbekannte.
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
@tigerbine
Danke für Deinen Beitrag. Also gibt es DEN Radius und DIE Höhe nicht ... Gut!

@nadine226 und @tigerbine
Ich habe eben etwas Entsprechendes gemacht: h in Abhängigkeit von r und r in Abhängigkeit von h ausgerechnet. Die Ergebnisse will ich mal mit dem Funktionen-Plotter darstellen:



Rot: h in Abhängigkeit von R
Grün: R in Abhängigkeit von h
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Das war eine Rückfrage. Das Schlüsselwort ist "einbeschrieben". Ich will mir nicht anmaßen, das korrekt übersetzen zu können. tut man dies mit, der Zylinder muss die Kugel "berühren",so erhalte ich gerundet in cm

r=8.87, h=3.09
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Ja, aber dann wird das Volumen viel zu groß ....

Zitat:
oll ein Zylinder einbeschrieben werdern, dessen Inhalt ein Viertel des Kugelinhaltes beträgt


Das Volumen der Kugel ist 190,85...cm^3,
das Zylindervolumen folglich 47,7129...cm^3 verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Das Volumen einer Kugel ist:



Mit r=9cm bekomme ich in cm³



Wie kommst du auf deinen Wert?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Falsche Taste am Taschenrechner gedrückt Hammer
Somit ist meine Grafik hinfällig ....
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe


Rot: h in Abhängigkeit von R
Grün: R in Abhängigkeit von h

So, jetzt stimmt's ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
du könntest die Grafik noch soweit beschränken, dass nur "sinnvolle" Kombinationen rauskommen. Denn r und h sind physisch schon mal auf [0,9] beschränkt. Augenzwinkern

nun ist aber mal nadine wieder dran. Zur ermittlung der Lösung wird man imho ein Näherungsverfahren nehmen. durch Cardano quält man sich nicht. unglücklich
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
danke bis hier...

also löse ich meine NB nach einer variablen auf und setze es in die andere ein? aber wann muss ich eine ableitung machen (weil es sich doch um extreme handelt) und wann muss ich das newton-verfahren machen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: newton-verfahren, extremwertaufgabe
Wieso willst du hier ableiten...Und wieso Extrema....

Newton braucht man, weil man am ende auf ein Polynom vom Grrad 3 kommt und die relevante nullstelle nicht ganzzahlig ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Also abzuleiten ist definitiv NICHT!
Und einbeschrieben heisst natürlich, dass der Zylinder die Kugel innen längs zweier Parallelkreise berühren muss.

Dadurch ist mittels Pythagoras die erste Bedingung aufzustellen (r = 9, R, h gesucht):



Die zweite Bedingung ergibt sich aus dem gegebenen Verhältnis der beiden Volumina:



Damit nun und mit einem Näherungsverfahren für die Gleichung 3. Grades ergeben sich jeweils zwei Werte für R und h.

R1 = 3,87, h1 = 16,25
R2 = 8,87, h2 = 3,09

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zweiten Fall hatte ich nicht beachtet Ups
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile

Da es nun keine Extremwertaufgabe ist, wurde der Thread entsprechend umbenannt.

mY+
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt man auf die zweite bedingung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kugelvolumen ist gleich dem 4-fachen des Zylindervolumens, das steht ja auch in der Angabe. Setze das gleich und kürze durch .

mY+
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab Vzy * 1/4 = VKugel

wenn ich das auflöse kommt da nicht das raus, was sie raus haben unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe bitte mal deine Gleichung mit den richtigen Volumsformeln hin!

mY+

Ach, ich sehe deinen Fehler schon! Das Zylindervolumen musst du MAL 4 nehmen, es ist ja das kleinere!
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »



als nächstes kürze ich Pi weg...



und was soll ich als nächstes ankündigen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das Zylindervolumen MAL 4 nehmen, es ist ja das kleinere, die Kugel ist ja 4 mal so groß!

mY+
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »

achso okay
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »



welche zahl muss ich jetzt für hn einsetzen...ich bin bei der formel vom newton verfahren smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst den Startwert? Da du die Lösungen schon kennst, ist es natürlich leichter.
Ansonsten musst du eine Wertertabelle erstellen und nach VZW (Vorzeichenwechsel) suchen. Dort wo dieser stattfindet, kannst du den Startwert möglichst nahe ansetzen. VZW passiert zwischen 16 und 17, bei 16 ist der Funktionswert näher an der x-Achse als bei 17, also wählen wir als Startwert 16. Analog wird der zweite Startwert bei 3 gesetzt, denn es kommen zwei mögliche Lösungen in Betracht.

mY+
nadine226 Auf diesen Beitrag antworten »

R1 = 3,87, h1 = 16,25

können wir doch ausschließen, weil die kugel doch nur ein radius von 9 hat, wie soll da irgendwas mit 16.25 reinpassen?

bezieht sich die wertetabelle auf die gleichung:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Gleichung ist richtig. Und alle beiden Lösungen sind möglich! Bedenke, dass 16,25 durchaus in die Kugel hineinpassen, denn deren Durchmesser ist ja 2*9 = 18! Dafür ist dann die Höhe mit rd. 3 relativ klein!
Wie immer, beseitigt dann eine Skizze die letzten Zweifel!

x ..... f(x)
------------
3 ...... 27
4 .... -260
...
16 ... -116
17 .... 377
...


mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »