Stoch. unabhängig vs. lin. abhängig

01.02.2009, 14:54

Dual Space

Stoch. unabhängig vs. lin. abhängig

Ich hab mal ein paar Fragen, die wahrscheinlich schnell geklärt sind.

Angenommen die Zufallsvariablen X und Y seinen stochastisch unabhängig. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X] \end{eqnarray*}$

und damit sofort $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X,Y)=0 \end{eqnarray*}$ . Die Kovarianz kann aber auch als Skalarprodukt des Hilbertraumes $\begin{eqnarray*} H:=L_2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \end{eqnarray*}$ interpretiert werden.

Also sind "unkorreliert" und "orthogonal" in gewisser Weise gleich bedeutend. Was ist aber die genaue geometrische Deutung (in H) für "stochastisch unabhängig"?

01.02.2009, 15:49

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Kann ich dir auch nicht genau sagen. Aber vielleicht so viel, was deutlich macht, dass unabhängig eine viel stärkere Forderung ist:

Mit $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ sind für beliebige messbare reelle Funktiongen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ auch die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} f(X),g(Y) \end{eqnarray*}$ unabhängig und damit auch unkorreliert (sofern deren quadratischen Integrierbarkeit überhaupt vorliegt).

Die analoge Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unkorreliert ---> $\begin{eqnarray*} f(X),g(Y) \end{eqnarray*}$ unkorreliert

gilt ja i.a. nicht.

03.02.2009, 12:51

Dual Space

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Aha ... das leuchtet ein.

Mal noch eine weitere Frage:

Betrachtet man einen stationären Prozess X(t), d.h.

$\begin{eqnarray*} X(t)\overset{d}{=}X(1) \end{eqnarray*}$ ,

und interpretiert ihn als Kurve in $\begin{eqnarray*} L_2(\Omega) \end{eqnarray*}$ , so liegt es nahe, dass diese Kurve vollständig auf einer Kugel um den Ursprung liegen muss, denn insbesondere gilt schließlich

$\begin{eqnarray*} \|X(t)-0\|_{L_2(\Omega)}=\|X(1)-0\|_{L_2(\Omega)} \end{eqnarray*}$

und das für alle reellen t.

Nun frage ich mich, wie die Sache bei Prozessen mit stationären Zuwächsen (im weiteren Sinne) aussieht, die selber nicht stationär sind. Sei also Y(t) ein solcher Prozess, dann gilt für alle reellen Zahlen h und alle t, dass

$\begin{eqnarray*} \|Y(t+h)-Y(t)\|_{L_2(\Omega)}=\|Y(h)-Y(0)\|_{L_2(\Omega)} \end{eqnarray*}$

ist. Nun habe ich irgendwo in einer Fußnote gelesen, dass solche Prozesse aufgefasst als Kurve im $\begin{eqnarray*} L_2(\Omega) \end{eqnarray*}$ eine Spirale (Schraubenlinie) sind. Dies will mir aber noch nicht so recht einleuchten. Ich meine sicherlich kommt eine Schraubenlinie in Frage, aber warum notwendigerweise?

03.02.2009, 13:12

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Was verstehst du hier unter Spirale/Schraubenlinie. Ich meine, nehmen wir mal den ganz normalen eindimensionalen Wienerprozess $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ , der fällt ja in die Kategorie mit stationären Zuwächsen. Dort ist $\begin{eqnarray*} \|W(t)\| = \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ , ist das eine Spirale? verwirrt

03.02.2009, 13:18

Dual Space

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Naja es gilt aber eben auch, dass

$\begin{eqnarray*} \|W(t+h)-W(t)\|=\|W(h)\|=\sqrt{h} \end{eqnarray*}$

und zwar für alle t. Der "Abstand" eines Zuwachses der Länge h hat also immer den selben Wert, egal wo ich mir diesen Zuwachs ansehe. Daher könnte(!) die Kurve eine Schraubenlinie sein.

Außerdem ist das konform mit der Tatsache, dass sich die Punkte der Kurve mit wachsendem t vom Ursprung entfernen.

Aber wie gesagt ... so richtig einleuchten tut mir das nicht.

05.02.2009, 09:48

Zahlenschubser

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Hallo Arthur,

dazu hätte ich eine Rückfrage:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Mit $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ sind für beliebige messbare reelle Funktiongen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ auch die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} f(X),g(Y) \end{eqnarray*}$ unabhängig und damit auch unkorreliert (sofern deren quadratischen Integrierbarkeit überhaupt vorliegt).

Ich habe diese Eigenschaft verwendet (bin kein Mathematiker!) und zwar aus einem Buch entnommen, wo gezeigt wird, dass für "integrierbare Borel-Funktionen" dies gilt - mit Hilfe des Theorems von Fubini. Ein befreundeter Professor, meinte nun dazu, dass 1. Integrierbarkeit gar keine Voraussetzung ist und 2. der Beweis, den ich angeführt habe nur Unkorreliertheit zeigen würde. Also, zur Sicherheit diese Fragen an dich, ist Integrierbarkeit eine Forderung, die notwendig ist um Unabhängigkeit zu zeigen (oder nur für Unkorreliertheit)? Und wie funktioniert der Beweis der Unabhängigkeit oder kann man ruhigen Gewissens dem Vorschlag meines Lektors folgen und unterstellen, dass dies als allgemein bekannt angenommen werden kann? (Ich gehe nicht davon aus, dass die Beweisidee nach Fubini bekannt ist...) Am Ende brauche ich, dass gilt: $\begin{eqnarray*} \mathrm{E}(f(X)g(Y)) = \mathrm{E}(f(X))\mathrm{E}(g(Y)) \end{eqnarray*}$ (oder brauche ich dafür doch wieder Integrierbarkeit?).

Vielen Dank für deine Mühe!

05.02.2009, 20:30

Dual Space

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@Zahlenschubser: Leider kann ich dir bei deinem Anliegen nicht helfen, trotzdem mache ich mal weiter im Programm.

Ich habe mich an einen Vortrag aus frühesten Studienzeiten erinnert und auch tatsächlich meine Mitschriften dazu wieder gefunden. Davon konnte ich mir nun (wage) folgende Infos zusammen puzzeln, wie man sich stochastische Unabhängigkeit und Unkorreliertheit evtl. vorstellen kann:

Betrachten wir mal im $\begin{eqnarray*} L_2(\Omega) \end{eqnarray*}$ (mit der Kovarianz als Innenprodukt) die Menge aller stochastisch abhängigen Zufallsgrößen. Unter denen sind keine zwei orthogonal im Sinne des L_2-Innenproduktes. Keine Orthogonalität entspricht einem Vektorraum mit krummlinigem Koordinatensystem.

Betrachten wir dann im $\begin{eqnarray*} L_2(\Omega) \end{eqnarray*}$ (mit der Kovarianz als Innenprodukt) die Menge aller unkorrelierten Zufallsgrößen. Diese sind paarweise Orthogonal, allerdings muss die Orthogonalität unter einer (linearen?) Koordinatentransformation nicht erhalten bleiben. Das entspricht einem Vektorraum mit lokal orthogonalem Koordinatensystem.

Zu guter Letzt betrachten wir dann im $\begin{eqnarray*} L_2(\Omega) \end{eqnarray*}$ (mit der Kovarianz als Innenprodukt) die Menge aller stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen. Diese sind orthogonal und die Orthogonalität bleibt auch unter linearen Koordinatentransformationen erhalten. Das entspricht also einem Vektorraum mit global orthogonalem Koordinatensystem.

Macht das Sinn, oder bin ich da total auf dem Holzweg? verwirrt

05.02.2009, 20:38

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Zitat:

Original von Zahlenschubser
ist Integrierbarkeit eine Forderung, die notwendig ist um Unabhängigkeit zu zeigen

Nein, für die Unabhängigkeit ist es nicht nötig. Für die Unkorelliertheit schon, und zwar sogar quadratische Integrierbarkeit - deswegen ja meine Anmerkung oben.

Zitat:

Original von Zahlenschubser
Und wie funktioniert der Beweis der Unabhängigkeit

Der funktioniert rein auf der Ebene der messbaren Abbildungen und Sigma-Algebren. Grob skizziert so:

" $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ sind unabhängig" ist gleichbedeutend mit "die Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} \sigma(X),\sigma(Y) \end{eqnarray*}$ sind unabhängig".

Nun kann man sich leicht klarmachen, dass im Falle borelmessbarer Abbildungen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ die Inklusionen $\begin{eqnarray*} \sigma(f(X)) \subseteq \sigma(X) \end{eqnarray*}$ und analog $\begin{eqnarray*} \sigma(g(Y)) \subseteq \sigma(Y) \end{eqnarray*}$ gelten ... muss ich noch weiter reden? Augenzwinkern

06.02.2009, 09:09

Zahlenschubser

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Nein, vielen Dank - jetzt weiß ich genau soviel, wie ich wissen muss! Augenzwinkern

Also nochmal großes Lob an euch!

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Stoch. unabhängig vs. lin. abhängig

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