Verständnisfragen

01.02.2009, 18:08

Sabinee

Verständnisfragen

Hallo, da ich nächste Woche meine Klausur schreibe habe ich ein paar Fragen zur Linearen Algebra:

Fange Mal mit meiner ersten Frage an:
Es geht um das Minimalpolynom:

Das Minimalpolynom ist so definiert:

Zu jedem $\begin{eqnarray*} A\in k^{n\times n} \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein normiertes Polynom $\begin{eqnarray*} \mu_A\in k[x] \end{eqnarray*}$ minimalen Grades mit $\begin{eqnarray*} \mu_A(A)=0 \end{eqnarray*}$ . Für beliebiges $\begin{eqnarray*} P\in k[x] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \mu_A| P \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe das Minimalpolynom im Hinblick auf das Charakteristische Polynom so:
$\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ enthält alle Linearfaktoren von $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ mit minimalem Grad.
Stimmt das so?

Nur gab mir mein Prof. letztens ein Beispiel, das ich leider nicht Parat habe wo das nicht so war.

Nun stelle ich hier Mal ein paar Charakteristische Polynome rein und schreibe daneben das Minimalpolynom hin:

$\begin{eqnarray*} \chi_A=(x-5)^3(x+2)^2(x-1)\Rightarrow \mu_A=(x-5)(x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \chi_A=(x+2)^2(x+4)^4x^2\Rightarrow \mu_A=(x+2)(x+4)x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \chi_A=(x+3)^3(x-6)(x+5)(x+4)(x-3)\Rightarrow (x+3)(x-6)(x+5)(x+4)(x-3) \end{eqnarray*}$

So habe ich das ganze verstanden.

Würde mich freuen wenn ihr das bestätigen oder mir sagen könntet was falsch ist.

Danke

01.02.2009, 18:14

tigerbine

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Vorab

Zitat:

wikipedia

Die Vielfachheit einer Nullstelle » von p bestimmt die Länge der längsten Hauptvektor-Kette zum Eigenwert », d. h., beträgt die Vielfachheit z. B. 4, dann existiert eine Kette von vier zueinander linear unabhängigen Hauptvektoren (der Stufen 1 bis 4) zum Eigenwert ». Falls noch weitere Hauptvektorketten zum Eigenwert » existieren, die von dieser Kette der Länge 4 linear unabhängig sind, dann sind sie auf keinen Fall länger. Somit ist die Größe des größten zu » gehörenden Jordanblocks der jordanschen Normalform von A identisch mit der Vielfachheit von » im Minimalpolynom p.

http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom

Sie haben die gleichen Nullstellen. Korrekt. Aber das MP besteht i.A. nicht nur aus "einfachen" Faktoren

tigerbine out.

01.02.2009, 19:54

WebFritzi

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Minimalpolynom ist

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = \lambda^2, \end{eqnarray*}$

und zwar, weil $\begin{eqnarray*} Ae_3 = e_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ae_2 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

02.02.2009, 14:26

Sabinee

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Dankeschön

Jetzt kommen ein paar weitere Verständnisfragen die ich entweder begründen oder widerlegen soll.

1) Jedes normierte Polynom $\begin{eqnarray*} P\in k[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad n tritt als charakteristisches Polynom einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in k^{n\times n} \end{eqnarray*}$ auf.

2) Falls das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A\in k^{n\times n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Nullstellen $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n \end{eqnarray*}$ hat so ist $\begin{eqnarray*} \mu_A=\chi_A \end{eqnarray*}$

3) Sind $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ähnlich über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , so haben sie gleiche Eigenwerte.

4) Haben $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gleiches charakteristisches Polynom, so sind sie ähnlich über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

5) Ist $\begin{eqnarray*} \chi_A=\chi_B=\prod_{i=1}^n~(x-i) \end{eqnarray*}$ , so sind $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ähnlich über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

Ich versuche das Mal zu begründen oder zu widerlegen.
Über Korrektur würde ich mich sehr freuen.

zu 1)
Ich würde sagen, dass das stimmt aber so eine wirkliche Begründung habe ich dafür nicht.
Mann kann ja aus jedem charakteristischen Polynom eine Matrix formen, welches die Nullstellen des charakteristischen Polynoms als Eigenwerte hat. Da ein Polynom vom Grad n maximal n Nullstellen hat kann die vorgegebene Matrix A diese Eigenschaft erfüllen.

zu 2)
Das ist korrekt, da das Minimalpolynom alle Linearfaktoren hat die das charakteristische Polynom auch hat und das charakteristische Polynom keine Nullstellen mit Vielfachheit >1 hat.

zu 3)
Hier bin ich mir nicht sicher. Ist die Matrix diagonalisierbar dann stimmt die Aussage, da diese Beziehung gilt: $\begin{eqnarray*} SAS^{-1}=B=\text{Diagonalmatrix} \end{eqnarray*}$ , d.h
Die Einträge auf den Diagonalen der Matrix B sind die Eigenwerte von A und somit besitzen sie das gleiche charakteristische Polynom und damit die gleichen Eigenwerte.
Dies müsste wenn ich recht überlege auch für eine trigonalisierbare Matrix gelten, denn um die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix zu bestimmen reicht es wenn man die Diagonaleinträge miteinander multipliziert und auf der Diagonalen von B stehen gerade die Eigenwerte.

zu 4)
Das stimmt nicht nehmen wir als Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Diese beiden Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom sind aber nicht ähnlich.

zu 5)
Das verwirrt mich denn das ist doch die gleiche Frage wie bei 4) oder?

Freue mich über Verbesserungsvorschläge.

Danke

02.02.2009, 15:09

tigerbine

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Kurzkommentar
Es gibt einen Satz, der besagt, dass ähnliche Matrizen das gleiche char. Polynom haben.

Nun ist die Frage, wie liest man den Satz richtig. Da steckt nur eine Richtung drin : Ähnlich => gleiches char. Poly.

1) google mal Frobenius Begleitmatrix

2) ja.

3) Ähnlich => charpoly => Eigenwerte (Frage mich, warum dort über C angegeben wird...)

4) Nun gilt es sich zu fragen, ob auch die Umkehrung gilt. Ähnlich bedeutet, dass die beiden Matrizen die gleiche Lineare Abbildung darstellen. Frage ist nun, finden wir zwei verschiedene Abbildungen, mit gleichem char. Polynom?

Warum sind deine Matrizen nicht ähnlich? nur weil ihre Optik nicht gleich ist?

02.02.2009, 17:27

Sabinee

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RE: Kurzkommentar
Hab gegooglet aber bin dadurch irgendwie nicht schlauer geworden. Augenzwinkern

zur 4)

Nein habe mir dabei das hier gedacht:

Die Matrix B hat das charakteristische Polynom:
$\begin{eqnarray*} \chi_A=(X-1)^2 \end{eqnarray*}$ woraus folgt dass der Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ist mit Vielfachheit $\begin{eqnarray*} ni=2 \end{eqnarray*}$ .
Bestimmt man den Eigenraum so erhält man: $\begin{eqnarray*} E(\lambda)=<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ und es gilt: $\begin{eqnarray*} ni>\dim E(\lambda) \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist und es kein $\begin{eqnarray*} S\in GL_n(k) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} SBS^{-1}=A=\text{Diagonalmatrix} \end{eqnarray*}$ und dadurch A und B nicht ähnlich sind.

Stimmt das?

02.02.2009, 17:34

tigerbine

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RE: Kurzkommentar
1) http://de.wikipedia.org/wiki/Begleitmatrix

4)
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \chi_A(x)=(x-1)^2 = \chi_B \end{eqnarray*}$

A ist eine Diagonalmatrix, B hat JNF Form. Damit kannst du die G-Vielfachheiten schon ablesen. Aber nur die Matrizen hinschreiben reicht nicht. Begründung muss mit dazu. Augenzwinkern

02.02.2009, 17:48

Sabinee

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RE: Kurzkommentar
1 verstanden smile

zu 4) Ja da hast du recht, aber da wir die Jordansche Normalform noch nicht hatten konnte ich das so nicht begründen.

Nun noch ne Frage, wie man diagonalisiert das weiß ich.
Ich schreibe die Eigenvektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix.
Nun habe ich mich gefragt wie man trigonalisiert?
Ich habe doch zu wenige Eigenvektoren um die Matrix mit den Vektoren zu füllen.
Kannst du mir sagen wie das geht?

02.02.2009, 17:53

tigerbine

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RE: Kurzkommentar
Leih dir den Fischer aus. Da steht das drin. Augenzwinkern

Und was ist an deiner Idee mit den EV problematisch? Findest du in diesem Fall überhaupt eine Basis auch EVs?

02.02.2009, 20:57

Sabinee

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RE: Kurzkommentar
Ich habs mir gerade durchgelesen und denke es verstanden zu haben.
Bin dir zu tiefst dankbar smile

Habe jetzt noch ein paar kleine Beweise bei denen du mir helfen könntest.

Sei V ein endlichdimensionaler k-Vektorraum, $\begin{eqnarray*} f: V\mapsto V \end{eqnarray*}$ linear. Dann sind gleichwertig:

1) $\begin{eqnarray*} \text{Bild} f=\text{Kern} f \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} f^2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dim V=2\dim \text{Kern} f \end{eqnarray*}$

Nun ich fange mit diesem Schritt an:

1) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 2)

Wegen $\begin{eqnarray*} \text{Bild} f=\text{Kern} f \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f=f^{-1}(0) \Rightarrow f\circ f=(f \circ f^{-1})(0)=f^2=0 \end{eqnarray*}$

Es gilt nach Rangsatz:
$\begin{eqnarray*} \dim V=\dim \text{Kern} f+\text{Bild} f \Rightarrow \text{Bild} f=\dim V-\dim \text{Kern} f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \dim \text{Kern} f=\dim V-\dim \text{Kern} f \Rightarrow \dim V=2\dim \text{Kern} f \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 1)
Reicht hier nicht schon die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} \dim V=2\dim \text{Kern} f \end{eqnarray*}$ . Daraus müsste doch schon folgen, dass $\begin{eqnarray*} \dim \text{Kern} f=\dim \text{Bild} f \end{eqnarray*}$ ist oder wo ist mein Fehler?

Ist der Beweis richtig?

02.02.2009, 21:35

tigerbine

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RE: Kurzkommentar
Würde meinen, dass man es so schreiben kann.

02.02.2009, 21:38

Sabinee

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RE: Kurzkommentar
Dankeeeschön smile

Du hast mir sehr geholfen, weiß garnicht wie ich dir danken kann.

02.02.2009, 21:44

tigerbine

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