Grenzwert

01.02.2009, 19:22

Metaphysika

Grenzwert

Hallo

,

ich habe folgenden Grenzwert zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{arctanx}{x})^{\frac{1}{x^2} } \end{eqnarray*}$

ich habe versucht, den Term mithilfe von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ darzustellen, also nach dem Prinzip

$\begin{eqnarray*} f(x)^{g(x)}=e^{g(x)ln(f(x))} \end{eqnarray*}$

dazustellen und dann abzuleiten, allerdings bin ich nicht weitergekommen, da wenn ich ableite ja immer noch e mit dem gesamten Exponenten dasteht...

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte...

LG
Metaphysika

01.02.2009, 20:16

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Was hast du denn wie abgeleitet?

Als erstes würde ich mal $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{arctan(x)}{x}) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

01.02.2009, 20:34

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Zitat:

Original von Metaphysika
ich habe versucht, den Term mithilfe von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ darzustellen, also nach dem Prinzip

$\begin{eqnarray*} f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))} \end{eqnarray*}$

dazustellen und dann abzuleiten, allerdings bin ich nicht weitergekommen, da wenn ich ableite ja immer noch e mit dem gesamten Exponenten dasteht...

Mit dem "ableiten" spielst du auf L'Hospital an, ja? Gute Idee, aber warum machst du es dir so schwer:

Falls der Grenzwert von deinem $\begin{eqnarray*} g(x)\ln(f(x)) \end{eqnarray*}$ existiert, dann folgt doch aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim\limits_{x\to 0} g(x) \ln(f(x))} \end{eqnarray*}$ .

01.02.2009, 21:30

Metaphysika

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Hallo,

also der Grenwert von $\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ergibt sich ja durch L'Hopital und der ist 1

Hab ich das richtig verstanden? Dass ich nun :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2}ln( \frac{arctan(x)}{x}) \end{eqnarray*}$

auf die Existenz eines Grenzwertes untersuchen muss?

Wenn ja, ich hab es mit L'Hopital versucht, allerdings hab ich nach zweimal ableiten noch immer keinen Grenzwert gefunden... oder wie kann ich das sonst machen?

Sagen, dass $\begin{eqnarray*} ln( \frac{arctan(x)}{x}) \end{eqnarray*}$ gegen Null geht und somit auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2}ln( \frac{arctan(x)}{x}) \end{eqnarray*}$

gegen Null geht, darf ich ja wohl nicht?

Soll ich hier meine Versuche einer Ableitung posten? (ist ziemlich lange geworden)

LG
Metaphysika

01.02.2009, 21:57

Leopold

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Es mag auch mit L'Hospital gehen - viel Spaß beim Rechnen!
Ich ziehe die Potenzreihenrechnung vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \cdot \arctan x = \frac{1}{x} \cdot \left( x - \frac{x^3}{3} \pm \ldots \right) = 1 - \frac{x^2}{3} \pm \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln (1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln \left( \frac{\arctan x}{x} \right) = \ln \left( 1 - \left( \frac{x^2}{3} \mp \ldots \right) \right) = - \left( \frac{x^2}{3} \mp \ldots \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{3} \mp \ldots \right)^2 - \ldots \end{eqnarray*}$

Wie beginnt nun die Potenzreihe? Und wie geht es weiter?

01.02.2009, 22:02

Metaphysika

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Hallo,

Leider ist mir das, was du da gemacht hast, ziemlich schleierhaft und ich denke nicht, dass wir das in der Vorlesung hatten....

LG
Metaphysika

01.02.2009, 22:08

Leopold

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Ihr hattet keine Potenzreihen?

01.02.2009, 22:16

Metaphysika

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Wir hatten den Satz von Taylor, aber der Begriff "Potenzreihe" ist nicht gefallen...

01.02.2009, 22:26

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Man sollte L'Hospital stets mit Bedacht einsetzen, und nicht auf einfach so drauflos auf jeden Ausdruch 0/0, das kann nämlich in wahre Ableitungsorgien ausarten, die dann am Ende die Ausdrücke komplizierter gestalten und kein bisschen helfen. Mit ein bisschen Nachdenken ist das oft durchaus vermeidbar:

Ruhig mal schon bekannte Grenzwerte ungleich Null als Faktoren abtrennen, soweit das möglich ist, um den eigentlichen L'Hospital-Bruch einfach zu gestalten! Im vorliegenden Fall hilft das auch.

Zitat:

Original von Metaphysika
Soll ich hier meine Versuche einer Ableitung posten? (ist ziemlich lange geworden)

Der erste L'Hospital-Schritt kann ja noch nicht so schlimm sein. Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ würde ich allerdings vorher noch umformen

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln\left(\frac{\arctan(x)}{x}\right)}{x^2} = \frac{\ln(\arctan(x))-\ln(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ ,

um unnötig lange Terme zu vermeiden.

03.02.2009, 19:59

Metaphysika

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Hallo,

wenn ich jetzt die Umformung von oben nehme und ableite, komm ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{arctan(x)} \frac{1}{1+x^2} -\frac{1}{x}}{2x} \end{eqnarray*}$

da x gegen Null strebt, weiß ich ja, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ gegen 1 strebt. Aber 2x läuft ja immer noch gegen Null, während meine beiden anderen Terme im Zähler ja jetzt gegen unendlich streben....- wie könnte ich weiter vorgehen?

LG
Metaphysika

03.02.2009, 20:10

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Geschickt zerlegen, wie von mir oben empfohlen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\arctan(x)} \frac{1}{1+x^2} -\frac{1}{x}}{2x} = \frac{\frac{x}{1+x^2} -\arctan(x)}{2x^3} \cdot \frac{x}{\arctan(x)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt beide Faktoren rechts getrennt (z.B. mit L'Hospital) behandeln - den zweiten hast du ja sogar schon. Augenzwinkern

Diese Zerlegung wurde natürlich mit dem Bedacht gewählt, möglichst die arctan-Terme zu isolieren, also ohne irgendwelche Faktoren wie $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ usw. dranmultipliziert. Isoliert nämlich ergibt sich nach dem L'Hospital-Ableitungsschritt ein einfach gebrochen rationaler Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ , womit dann insgesamt auch ein gebrochen rationaler Term entsteht - und die hat man ja im Griff! Augenzwinkern

03.02.2009, 20:21

Metaphysika

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Hallo

,

danke, dass du mir hilfts- aber ich verstehe nicht, wo das x^3 herkommt...

LG
Metaphysika

03.02.2009, 20:24

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Das kann nicht dein Ernst sein - du wirst doch wohl selbständig überprüfen können, dass linke und rechte Seite identisch sind. unglücklich

03.02.2009, 20:28

Metaphysika

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Entschuldigung, aber dieser Grenzwert beschäftigt mich schon ein weilchen- ich seh wohl heute den Wald vor lauter Bäumen nicht...

Sorry

LG
Metaphysika

03.02.2009, 20:29

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Dann mach mal Pause - mit klarem Blick ist dann manches leichter. Augenzwinkern

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