Kreisgleichungs Aufgabe

02.02.2009, 16:38

Geschmackssache

Kreisgleichungs Aufgabe

Hier erneut meine Frage. Habe in der Zwischenzeit das Formeleditor Tool entdeckt.

Bestimmen Sie den Kreis durch die Punkte A und B, der die Gerade g berührt.

a) A(1/-6), B(-3/2) $\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \vec{x} - 37 = 0 \end{eqnarray*}$

Bitte um Hilfe.

Gruß,
Christian

Edit (mY+): LaTex verbessert. Ausdruck markieren und auf f(x) klicken. Der Ausdruck wird dann automatisch in LaTex-Klammern $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$ gesetzt.

02.02.2009, 16:40

Geschmackssache

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a) A(1/-6), B(-3/2) g: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - 37 = 0

02.02.2009, 18:47

mYthos

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Was hast du dir dazu schon überlegt?

Hinweise:
Auf welcher Linie liegt der Mittelpunkt des gesuchten Kreises hinsichtlich der beiden Punkte AB und welchen Abstand hat er von der gegebenen Geraden? Da du drei Gleichungen für den Kreis benötigst (für 2 Mittelpunktskoordinaten, Radius), musst du noch die Tatsache ausnützen, dass der Punkt A (oder B) auf dem Kreis liegen muss.

mY+

02.02.2009, 19:38

Geschmackssache

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überlegt habe ich mir dass von der Geraden g eine orthogonale Gerade zum Mittelpunkt des Kreises M gehen muss da g eine Tangente des Kreises ist.

Die Gerade ist in der Form der Hess'sche Normalenform also könnte man mithilfe dieser den Abstand (also die Länge des Radiuses r) zum Mittelpunkt M ausrechnen. Dies wurde als Hinweis auch angegeben. Nur frage ich mich wie ich die HSN anwenden soll wenn ich den Punkt M nicht gegeben habe.

Wie sehen denn die drei Gleichungen für die 2 Mittelpunktskoordinaten + Radius aus?

Zu deinem Hinweis: Die Gerade die durch A und B geht hat eine Orthogonale welche durch M geht bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \mid \vec{AB} \mid \end{eqnarray*}$

Mir kommt gerade eine Erleuchtung: Kann ich einfach die orthogonale Gerade von g mit der orthogonalen Geraden dem Vektor AB gleichsetzen? Wie genau stell ich das an?

Gruß,
Christian

02.02.2009, 20:03

mYthos

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Letzteres geht im Allgemeinen nicht, denn die Gerade AB muss ja nicht auf der Tangente senkrecht stehen.

Der Kreis sei k [M(m;n); r], m, n und r sind zu errechnen.

Was du hinsichtlich der HNF machen kannst und auch sollst, ist, die HNF der Geradengleichung (der Tangente) zu erstellen und darin statt x die Koordinaten m, n des Kreismittelpunktes einsetzen, das muss $\begin{eqnarray*} \pm r \end{eqnarray*}$ ergeben.

Die Mittensenkrechte (Streckensymmetrale) von AB ist jener Ort, auf der die Miittelpunkte aller durch A und B gehenden Kreise liegen.

A (, B) selbst liegen ebenfalls auf dem Kreis. Für die 3 Variablen m, n, r brauchst du jedenfalls auch 3 Gleichungen.

Wenn A, B beide jeweils in die Kreisgleichung eingesetzt und die beiden Gleichungen dann voneinander subtrahiert werden, erhält man ebenfalls die Gleichung der Streckensymmetralen, in die bereits m und n eingesetzt sind.

mY+
EDIT: Beachte bitte die Korrekturen (rot)

02.02.2009, 20:16

Geschmackssache

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ja, aber um noch mal zu meiner Idee zurückzukommen:

Die zu AB Orthogonale Gerade welche durch den Mittelpunkt von der Geraden AB geht, geht auch durch den Punkt M. Und die Orthogonale Gerade zu g schneidet dann die zu AB orthogonale Gerade im Punkt M! Ist das noch eine weiter Lösungsmöglichkeit? Mit dem Gleichsetzen der beiden Gerade würde ich doch dann einen Punkt herausbekommen welcher exakt M ist oder? Oder ist das einfach zu kompliziert?

Wie bilde ich denn die HNF von AB? Also A-B als Richtungsvektor und A (oder B) als Stützvektor? Und ist das denn dann schon die HNF?

02.02.2009, 20:32

mYthos

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Erstens: Ja, das wäre schön, aber es hat den Haken, dass du ja nicht weisst, wo die zur Tangente orthogonale Gerade durchgeht. Dazu müsstest du den Berührungspunkt der Tangente haben. Und - wo ist der??

Zweitens: Zur HNF musst du die Geradengleichung noch durch den Betrag des Normalvektors dividieren.

mY+

02.02.2009, 23:05

Geschmackssache

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Noch mal ganz langsam für mich zum nachvollziehen:

Geradengleichung der Gerade die durch die Punkte A und B geht bilden:

$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun?

02.02.2009, 23:26

mYthos

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Hast du Ahnung von der HNF??
g (damit ist die Tangente gemeint) auf Koordinatenform (und auf 0, d.h. .. =0) bringen, durch den Betrag des Normalvektors dividieren .. (wo sieht man den Normalvektor in der Koordinatenform?)

mY+

EDIT: Beachte bitte die Korrekturen (rot)

02.02.2009, 23:48

Geschmackssache

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hab nicht wirklich viel Ahnung von der HNF.

Also koordinatenform von g:

x1 = 1 + 4t
x2 = -6 - 8t

nun löst man nach t auf in der 2. Gleichung und bekommt $\begin{eqnarray*} \frac{-6}{8}-\frac{x_2}{8} = t \end{eqnarray*}$

t setzt man dann in die erste gleichung ein und dann hab ich die Koordinatenform?

Nun löse ich nach 0 auf?

Und was ist der Betrag des Normalenvektors?

03.02.2009, 00:07

Geschmackssache

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so hab nun

$\begin{eqnarray*} 0=x_1+\frac{1}{2} x_2 +2 \end{eqnarray*}$

Kann ich hieraus den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ablesen???

03.02.2009, 00:26

mYthos

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Ja, das ist ok, den Normalvektor kannst noch auf (2;1) verlängern (d.h. die Gleichung mit 2 multiplizieren):

$\begin{eqnarray*} 2x_1+ x_2 + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Das muss für die Tangentengleichung gemacht werden!

für die HNF nun durch den Betrag des Normalv. dividieren, rechts steht wieder 0

dann statt x1, x2 das m und n oder was du eben als Koordinaten von M haben willst, einsetzen = r.

mY+

EDIT: Dem Sinn nach stimmt das, nur ist die Geradengleichung der Tangete zu nehmen! Beachte bitte die Korrekturen (rot).

03.02.2009, 00:42

Geschmackssache

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ok super...und nun hab ich da $\begin{eqnarray*} \frac{2m + n+4}{ \sqrt{5} } = + und - r \end{eqnarray*}$

und wie löse ich nun nach m, n und r auf??? (denken fällt um die Uhrzeit immer schwerer smile

)

03.02.2009, 00:51

mYthos

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Also, da gibt es ja noch die anderen Gleichungen, von denen ich dir geschrieben habe ... .
Aber für heute müssen wir (bzw. ich) Schluss machen, morgen ist auch noch ein Tag.
Vielleicht schaut heute noch wer anderer hier rein.

mY+

03.02.2009, 00:53

Geschmackssache

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schade so kurz vorm Ziel. Vielen Dank für die ganze Mühe bis hierhin in jedem Fall schon mal!

Gruß,
Christian

03.02.2009, 10:08

mYthos

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Zum Ziel ist es doch noch etwas länger, weil die anderen beiden Gleichungen und die Lösung noch fehlen. Oder hast du diese schon erstellt? Schreibe jedenfalls, wie du weitergemacht hast.

mY+

03.02.2009, 13:58

Geschmackssache

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Bin gerade aus der Schule heimgekehrt. Den ersten Teil meines Referates habe ich gut überstanden. Die Aufgabe selbst wurde meinem 13er Mathe LK Lehrer bewusst ist doch komplizierter als er antizipierte.

Bisher habe ich nichts weiter gerechnet als was ich zu letzt geschrieben habe.

Nun da ich meine Formel =+-r habe wie stelle ich die beiden weiteren Gleichungen auf und wie löse ich diese dann auf? Ich weiß ich bin nicht gerade der beste Matheversteher, der nach einem Denkanstoß alles selber macht Hammer

Hoffe trotzdem weiter auf deine tatkräftige Hilfe!

Danke im Vorraus,
Christian

03.02.2009, 18:52

mYthos

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Die Gleichung der Mittensenkrechten hast du?
Wir erhalten diese auch, indem wir in die allgemeine Kreisgleichung die Koordinaten beider Punkte A, B einsetzen und diese dann subtrahieren. Der Vorteil: Wir haben damit auch schon die fehlende dritte Gleichung (A oder B liegt auf dem Kreis):

$\begin{eqnarray*} (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Setze darin nun die beiden Punkte ein (-> es ergeben sich 2 Gleichungen in m, n, r) und verfahre, wie beschrieben.

mY+

03.02.2009, 20:05

Geschmackssache

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mit $\begin{eqnarray*} \frac{2m+n+4}{\sqrt{5}}=\pm r \end{eqnarray*}$ hab ich doch schon die Gleichung der Mittensenkrechten oder? Oder stehe ich gerade aufm Schlauch?

A und B eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} (-3-m)^2+(2-n)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Subtrahier ich dann von

$\begin{eqnarray*} (1-m)^2+(-6-n)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Oder?!

dann sieht das ganze so aus:

$\begin{eqnarray*} ((1-m)^2+(-6-n)^2)-((-3-m)^2+(2-n)^2)=r^2-r^2 \end{eqnarray*}$

hab ich recht? Und wenn ja...löse ich nun nach m und n auf?

Edit (mY+): Latex verbessert. LaTex-Tags fehlten oben, Plus/Minus geht mit \pm und Hochzahl 2 mittels ^2, nicht ² schreiben!

03.02.2009, 20:49

mYthos

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Also das da oben ist NICHT die Gleichung der Mittensenkrechten. Erst wenn du die beiden quadratischen Gleichungen voneinander subtrahierst, bekommst du diese, wobei m und m bereits eingesetzt sind. Vereinfache doch diese Gleichung noch weiter, es reduzieren sich auch die Quadrate non m und n, nicht nur von r.

Als dritte Gleichung nehme eine von den beiden, die du bei der Subtraktion benützt hast.

Ich möcht' einmal alle drei Gleichungen sauber untereinander stehen sehen, bevor wir uns dann an die Lösung derselben machen.

mY+

04.02.2009, 20:11

Geschmackssache

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$\begin{eqnarray*} -4-m-n+m+n=0 \end{eqnarray*}$ <--- das bekomme ich raus wenn ich das richtig aufgelöst habe...aber das ist doch eine falsche aussage??? Ich hab ja dann ganz am Ende $\begin{eqnarray*} -4=0 \end{eqnarray*}$ stehen?!? Oder war ich gerade zu blöd um die Gleichung zu vereinfachen?!?

04.02.2009, 21:57

Gualtiero

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Hallo, also ich bekomme da

$\begin{eqnarray*} 1-2*m+m^2+36+12*n+n^2-9-6*m-m^2-4+4*n-n^2=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} -8*m+16*n+24=0 \end{eqnarray*}$ . . . dann durch 8 kürzen

Rechne nämlich schon länger an dem Beispiel und knobel verwirrt

noch an der Möglichkeit, den Mittelpunkt (vielleicht sind's zwei) geometrisch zu finden.

Gualtiero

04.02.2009, 23:07

mYthos

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Ich habe mir die Angaben nochmals genauer angesehen, und festgestellt, dass zwar die HNF richtig erklärt, aber leider von der falschen Gerade erstellt wurde. Selbstverständlich muss dies bei der Tangente geschehen und NICHT bei der Sekante AB.

EDIT: Beachte bitte die Korrekturen (rot) bei den obigen Beiträgen.

Die Gleichung der Tangente ist gegeben und lautet

$\begin{eqnarray*} -3x_1 + 4x_2 - 37 = 0 \end{eqnarray*}$

Die HNF daher

$\begin{eqnarray*} \frac{-3x_1 + 4x_2 - 37}{5} = 0 \end{eqnarray*}$

Der Mittelpunkt M(m;n) muss von dieser Tangente den Abstand r haben, daher wird er da eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-3m + 4n - 37}{5} = \pm r \end{eqnarray*}$

oder dann

$\begin{eqnarray*} -3m + 4n - 37 = \pm 5r \end{eqnarray*}$

Übrigens entspricht diese Gleichung dem Resultat der Berührbedingung eines allgemeinen Kreises mit einer Geraden.
So, das wäre mal das.

Zitat:

Original von Geschmackssache
$\begin{eqnarray*} -4-m-n+m+n=0 \end{eqnarray*}$ <--- das bekomme ich raus wenn ich das richtig aufgelöst habe...

Das ist nicht richtig, da hast du offensichtlich Fehler gemacht.
Auf welche Weise auch immer, die zweite Beziehung (Mittensenkrechte) lautet

$\begin{eqnarray*} m - 2n = 3 \end{eqnarray*}$

Mit dem in die Kreisgleichung eingesetzten Punkt B haben wir die dritte Beziehung. Alle drei Gleichungen angeschrieben - dieses Ziel wollten wir mal erreichen - sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} 1.: \ m - 2n = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.: \ -3m + 4n - 37 = \pm 5r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.: \ (-m-3)^2 + (-n+2)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ .. Punkt B
--------------------------------------------------------------------------------

Wegen der beiden Vorzeichen bei der 2. Gleichung müssen wir eine Fallunterscheidung vornehmen.

Jetzt brauchen wir dieses Ding nur noch auflösen! Dabei empfiehlt sich folgendes Vorgehen: Aus den beiden linearen Gleichungen berechnen wir sowohl m, als auch n und zwar beide ausgedrückt in r. Diese setzen wir dann in die quadratische Gleichung ein und können nach r auflösen. Bei den theoretisch 4 Lösungen gibt es in einem Fall keine, im anderen zwei brauchbare Lösungen Somit gibt es insgesamt 2 Kreise, die den geforderten Angaben entsprechen.

mY+

04.02.2009, 23:24

riwe

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Zitat:

Original von Gualtiero

Rechne nämlich schon länger an dem Beispiel und knobel verwirrt

noch an der Möglichkeit, den Mittelpunkt (vielleicht sind's zwei) geometrisch zu finden.

Gualtiero

eine mögliche konstruktion smile

04.02.2009, 23:42

mYthos

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Zu der Konstruktion ist zu bemerken, dass diese mittels einer auf dem Sehnen- Sekantensatz beruhenden Beziehung durchgeführt werden kann. Der Schnittpunkt der Tangente mit der Sekante (AB) sei S, der Berührungspunkt der Tangente T, t die Tangentenstrecke.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \overline{ST}^2 = t^2 = \overline{SA} \cdot \overline{SB} \end{eqnarray*}$

Die Tangentenstrecke t kann dann mittels Kathetensatz ermittelt werden.

Eine noch einfachere Möglichkeit zur Bestimmung der Tangentenstrecke t: Wir legen einen beliebigen Kreis durch AB und konstruieren an diesen die Tangenten von S mitsamt den Berührungspunkten. Die Tangentenstrecken t an diesen (gewählten) Kreis sind gleich lang wie die gesuchte Tangentenlänge ST. Der Grund: Die Potenz (d.i. das Quadrat der Tangentenstrecke) von S bezüglich des gewählten Kreises verändert sich infolge der fixen Lage von S, A und B nicht und ist somit gleich jener des gesuchten Kreises!

mY+

05.02.2009, 00:29

riwe

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die konstruktion über den sehnen-tangentensatz kann man halt auch hübsch benutzen,
um das problem zu rechnen- wenn einem mal fad ist mit dem ewig gleichen gewusel verwirrt

S ergibt sich als schnittpunkt der geraden g und der durch AB zu

$\begin{eqnarray*} S(-\frac{53}{11}/\frac{62}{11}) \end{eqnarray*}$

damit bekommt man

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{\overline{SA}\cdot\overline{SB}}=\frac{80}{11} \end{eqnarray*}$

und weiters die beiden berührpunkte

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB}_{1,2}=\overrightarrow{OS}\pm t\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \to B_1(1/10) \end{eqnarray*}$

damit erhält man den mittelpunkt des einen kreises als schnittpunkt von

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{M_{AB}}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} M(7/2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = 10 \end{eqnarray*}$

beim 2. kreis sind mir zu viele $\begin{eqnarray*} \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$ dabei,
und ich bin halt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ -terl geeicht smile

05.02.2009, 01:13

riwe

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der elegante weg smile

der/die mittelpunkte liegt/en auf:

(0) $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{M_{AB}}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die HNF der tangente:

(1) $\begin{eqnarray*} 2t+42=\pm 5r \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die kreisgleichung:

(2) $\begin{eqnarray*} 5t^2+20=r^2 \end{eqnarray*}$

womit man eine quadratische gleichung für t erhält mit

$\begin{eqnarray*} t_1=4\quad{ }\wedge\quad{ }t_2=-\frac{316}{121} \end{eqnarray*}$

und damit aus (0)

$\begin{eqnarray*} M_1(7/2)\quad{ } r=d(AM_1)=10 \end{eqnarray*}$

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