Untergruppe von Z(G)

07.09.2006, 11:19

annalena

Untergruppe von Z(G)

Aufgabe:
Gegeben ist eine Gruppe G der Ordnung p^k (p eine Primzahl, k>0).
Behauptung: Zentrum von G Z(G) besitzt eine Untergruppe N der Ordnung p.

Also es gibt dazu folg. Beweis:
Wähle ein a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z(G)\E mit ord(a)=p^m , dann hat $\begin{eqnarray*} <a^{p^m-1} > \end{eqnarray*}$ die gewünschte Eigenschaft.

kann mir jemand erklären warum $\begin{eqnarray*} <a^{p^m-1} > \end{eqnarray*}$ die gewünschte Eigenschaft hat?

danke im Voraus.

Edited by Stefan: $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ - Exponenten mit mehr als einem Zeichen immer in geschweifte Klammern setzen, also in { ... }.

07.09.2006, 16:48

JochenX

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Vergiss das Zentrum einfach mal. Die weitere Aussage gilt in jeder Gruppe mit Ornung p^k (k>0)
Überleg dir einfach mal, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} <a> \end{eqnarray*}$ eine zyklische Grupp ist. Insbesondere also, wie $\begin{eqnarray*} <a^{p^{m-1}}> \end{eqnarray*}$ ausssieht.

Dann müsstest du halt nur noch zeigen das das Zentrum eine solche Ordnung hat.

07.09.2006, 17:01

annalena

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Zitat:

Original von LOED
Vergiss das Zentrum einfach mal. Die weitere Aussage gilt in jeder Gruppe mit Ornung p^k (k>0)
Überleg dir einfach mal, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} <a> \end{eqnarray*}$ eine zyklische Grupp ist. Insbesondere also, wie $\begin{eqnarray*} <a^{p^{m-1}}> \end{eqnarray*}$ ausssieht.

< a > = G ist eine zyklische gruppe bedeutet, dass G von a erzeugt werden kann; außerdem muss gelten a^(ord(G)) = e.

Zitat:

Dann müsstest du halt nur noch zeigen das das Zentrum eine solche Ordnung hat.

wie zeig ich das? Hilfe

07.09.2006, 17:47

JochenX

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Für die erste Frage möchte ich, dass du das noch genauer beantwortest.
Für jedes Element und in jeder endlichen Gruppe ist $\begin{eqnarray*} a^{\text{ord(G)}}=e \end{eqnarray*}$

Und ich habs auch gesagt: wie GENAU sieht <a> aus?
DANN: wie sieht a^... diese Potenz aus?

Die andere Frage: es ist Z(G) eine UG, was also kann es überhaupt nur für Kardinalitäten haben?
was könnte also noch "schiefgehen"?

07.09.2006, 18:06

annalena

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Zitat:

Und ich habs auch gesagt: wie GENAU sieht <a> aus?
DANN: wie sieht a^... diese Potenz aus?

$\begin{eqnarray*} <a> = { a^k | k \in \mathbb Z } \end{eqnarray*}$
oder was meinst du? verwirrt

Zitat:

Die andere Frage: es ist Z(G) eine UG, was also kann es überhaupt nur für Kardinalitäten haben?
was könnte also noch "schiefgehen"?

Also G hat auf jeden Fall nicht-triviales Zentrum, also ord(Z(G)) kann p, p^2, ....,p^(m-1) sein. oder? verwirrt

07.09.2006, 18:10

JochenX

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Naja, schreibs mal halt "von Hand" hin, dann solltest du es sehen.

$\begin{eqnarray*} <a>=\{ a, a^2, a^3, a^4,....,a^{p^{m}-1}, e(=a^{....})\} \end{eqnarray*}$ mit genau ..... Elementen.

Dann hingegen: $\begin{eqnarray*} <a^{p^{m-1}}>=.... \end{eqnarray*}$ mit wievielen Elementen?

card(Z(G)) TEILT die Urpsrungsgruppenordnung, das schlimmste, was passieren kann, ist also card(Z(G))=1.
Wenn du das mit dem nichttrivialen Zentrum schon weißt, dann bist du hier aber schon fertig.

07.09.2006, 19:58

irre.flexiv

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$\begin{eqnarray*} ord(a^{p^m-1})=p^t \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} t\leq m \end{eqnarray*}$ .

Dann hat man aber immer noch nicht t = 1 ?

Edit : Fehler korrigiert.

07.09.2006, 20:14

JochenX

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Zitat:

Original von irre.flexiv
$\begin{eqnarray*} ord(a^{p^{m-1}})=p^t \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} t\leq m \end{eqnarray*}$ .

Dann hat man aber immer noch nicht t = 1 ?

oh doch.
Für dich gilt das gleiche wie für annalena.

Schreib dir <a^...> mal explizit hin (natürlich mit Punkten)

Gerne auch mal am Beispiel:
sei ord(a)=27=3^3, teste mal a^9

07.09.2006, 20:25

irre.flexiv

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LOED redest du über $\begin{eqnarray*} a^{p^m-1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^{p^{m-1}} \end{eqnarray*}$ ? Ersteres hat annalena im ersten Beitrag gepostet.

07.09.2006, 20:29

JochenX

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Zitat:

Original von irre.flexiv
LOED redest du über $\begin{eqnarray*} a^{p^m-1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^{p^{m-1}} \end{eqnarray*}$ ? Ersteres hat annalena im ersten Beitrag gepostet.

aaaah, jetzt sehe ich es erst Augenzwinkern

Sie hat etwas ganz anderes gepostet, Stefan hat den Latexcode (falsch!!) korrigiert, siehst du?

Es geht natürlich um ZWEITERES, ansonsten macht die Aussage ja wirklich keinen Sinn.
Hier hast du besser gelesen, ich habe einfach das Richtige rausgelesen, weil ich wusste, dass es da stehen "musste".

Stefan, du Falschkorrigierer.....

Also noch mal:
gilt $\begin{eqnarray*} \text{ord}(a)=p^k \end{eqnarray*}$ , dann hat $\begin{eqnarray*} a^{p^{k-1}} \end{eqnarray*}$ (SO) die Ordnung......

danke Irreflexiv.

07.09.2006, 20:34

irre.flexiv

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Na toll ich hab mir so den Kopf über die Aufgabe zerbrochen, alles umsonst Big Laugh

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