Hyperkugel im 9-dimensionalen Raum |
| 03.02.2009, 21:26 | Ridcully84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Hyperkugel im 9-dimensionalen Raum Als ambitionierter Geocacher (ganz anderes Thema) bin ich auf ein Problem gestoßen: Die Aufgabe: Eine Rand einer neundimensionalen Hyperkugel ist die Menge aller Punkte, die in einem neundimensionalen Raum einen bestimmten Abstand r zu einem festgelegten Mittelpunkt M haben. Der Einfachheit halber soll der Mittelpunkt unserer Hyperkugel der Ursprung unseres Koordinatensystems sein, also M(0/0/0/0/0/0/0/0/0) und wir betrachten ausschließlich die neundimensionale Hyperkugel mit dem Radius r = 3. Die Frage ist nun, wieviele Gitterpunkte des Koordinatensystems zu dem Rand dieser Hyperkugel gehören. Gitterpunkte nennen wir die Punkte in einem Koordinatensystem, bei denen alle Koordinaten ganzzahlig sind. Der Punkt P(3/0/0/0/0/0/0/0/0) ist z.B. ein solcher Punkt, da alle seiner Koordinaten ganzzahlig sind und er gleichzeitig genau den Abstand 3 zum Mittelpunkt hat. Die Anzahl aller Punkte, die diese beiden Eigenschaften erfüllen, nennen wir X. Kann mir bei dem Problem jemand helfen? Also an Vektorrechnung erinnere ich mich nur noch dunkel und hab schon Wikipedia sowie diverse andere Mathematikpages durchstöbert aber erfolglos. Ich finde zwar Informationen zu den Begrenzungen von Körpern im 4 bis 6 dimensionalen Raum aber nichts zu deren Nullstellen. Kann auch sein dass ich was gefunden habe und es nur nicht als ansatzweise sinnvolle Information erkannt hab 
Vielen Dank schon mal im Voraus! Ridcully84 |
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| 03.02.2009, 22:12 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist wohl eher ein kombinatorisches Problem, denn die Geometrie ist bereits mit dem Aufstellen der Bestimmungsgleichung mit erledigt. 
P.S.: Ich komme auf insgesamt 34802 Gitterpunkte - ohne Gewähr. 
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| 03.02.2009, 22:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bestätige Arthurs Zahl: |
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| 04.02.2009, 08:18 | Ridcully84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Besten Dank! Vielen Dank für die schnelle Antwort! Da wär ich im Leben nicht drauf gekommen.... |
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| 04.02.2009, 16:19 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Eigentlich dachte ich, ich hätte mit der Angabe des Terms noch nicht allzu viel verraten, sondern nur Arthurs Hinweis mit der Kombinatorik etwas ausgefüllt. Oder hast du die Aufgabe noch gar nicht gelöst und bist nur am Ergebnis interessiert, wie auch immer es zustande kommt?
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| 04.02.2009, 16:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verdammt, das hatte ich überlesen:
Dann bist du wohl gar nicht am Lösungsweg interessiert, sondern nur am zahlenmäßigen Ergebnis. Da war ich natürlich unvorsichtig mit dem Verraten des Ergebnisses. 
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| 04.02.2009, 21:07 | Ridcully84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte auch gerne den Lösungweg verstanden, bin da aber mit der neundimensionalen Vorstellungskraft nicht so gesegnet und mein Abstraktionsvermögen lässt da auch zu wünschen übrig... Also die Formel samt Werten kann ich nachvollziehen, aber der Schritt zwischen mit und fehlt mir völlig! |
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| 04.02.2009, 21:22 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man muss sich zunächst klar machen, welche Möglichkeiten es gibt, die 9 als Summe von 9 Quadraten ganzer Zahlen darzustellen. Das sind (zunächst ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) gar nicht so viele: oder gleich als Ziffern geschrieben: 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Für jeden dieser 4 Fälle musst du jetzt noch 1.) die Permutationen dieser 9 Ziffern, sowie 2.) die möglichen Vorzeichen +/- der jeweiligen Nichtnullziffern in die Anzahlberechnung der 9-Tupel des jeweiligen Falls einbeziehen. |
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