Extremwertproblem

07.09.2006, 17:08

Louisa

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Extremwertproblem

Hej

smile

Ich habe eine Aufgabe zu Extremwertproblemen bekommen, die ich nicht verstehe..:

Fig. 147.3 zeigt für xe(0;2) den Parabelbogen mit der Gleichung y=4-x^2. Zu jedem Punkt P(u/0) mit 0 < u < 2 gibt es ein Rechteck, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen und eine Ecke auf dem Parabelbogen liegen.

a) Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Ich verstehe überhaupt nicht, wie ich so eine Aufgabe lösen soll, bzw wie ich anfange das zu lösen !?

Als Lösungsansatz wird in dem Buch angegeben, das die Zielfunktion z also z(u)=u(4-u^{2}) ist, aber warum setzt man einfach noch ein u vor die Klammer?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen unglücklich

unglücklich

07.09.2006, 17:12

derkoch

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es wäre durchaus schön wenn wir die Fig. 147.3 auch sehen dürfen! oder ist das ein so großes staatsgeheimnis, daß du uns die nicht zeigen magst!? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2006, 17:16

Louisa

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hm...ja würd sie ja gern zeigen, aber wie denn? die ist ja in meinem buch...

aber ist die denn so wichtig dafür?

07.09.2006, 17:20

zt

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Weil die Fläche eines Rechtecks nicht $\begin{eqnarray*} A=a \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} A=a\cdot\ b \end{eqnarray*}$ beträgt? LOL Hammer

LOL Hammer

07.09.2006, 17:25

Louisa

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okay..denn also nicht..

ich wollte ja auch nur wissen, wie die zielfunktion aufgestellt wurde..also warum da auf einmal in der gleichung noch ein u ist?!

07.09.2006, 17:33

zt

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für ein Rechteck mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} A=a\cdot{b} \end{eqnarray*}$ , wobei für das Extremalproblem die Hauptbedingung mit nur noch einer unbekannten Var. aufgestellt wurde. $\begin{eqnarray*} a=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=4-u^2 \end{eqnarray*}$ , folgt $\begin{eqnarray*} A(u)=u*(4-u^{2}) \end{eqnarray*}$

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07.09.2006, 17:35

zweiundvierzig

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RE: Extremwertproblem

Zitat:

Original von Louisa
[...] $\begin{eqnarray*} y=4-x^2 \end{eqnarray*}$ [...]gibt es ein Rechteck, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen und eine Ecke auf dem Parabelbogen liegen.

a) Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt? [...]

Als Lösungsansatz wird in dem Buch angegeben, das die Zielfunktion $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} z(u)=u(4-u^2) \end{eqnarray*}$ ist, aber warum setzt man einfach noch ein u vor die Klammer?[...]

Die Fläche eines Rechtecks ist allgemein $\begin{eqnarray*} A=a*b \end{eqnarray*}$ . In deinem Fall liegt eine Seite auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse und die andere auf der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse. Die Fläche wäre demnach $\begin{eqnarray*} x_0*y_0=u*y(u) \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Fläche $\begin{eqnarray*} z(u)=u*y(u)=u(4-u^2) \end{eqnarray*}$ .

07.09.2006, 17:39

Louisa

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achso okay...

und wie rechne ich dann weiter um den flächeninhalt zu bekommen?

07.09.2006, 17:40

zt

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$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ soll maximal sein. Also berechnest du die Extrema von $\begin{eqnarray*} A(u) \end{eqnarray*}$ und überprüfst, ob es sich um einen Hochpunkt handelt.

07.09.2006, 17:40

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} A=z(u)=u*y(u)=u(4-u^2) \end{eqnarray*}$ /ist/ dein Flächeninhalt. Was musst Du nun tun, um ihn maximal werden zu lassen?

07.09.2006, 17:44

Louisa

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also muss ich erstmal die ableitungen von A(u) finden oder?

wie leite ich denn sowas ab? wäre das dann

z'(u)= -8u + 4 ?

07.09.2006, 17:46

zweiundvierzig

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Nein...das hier kannst du sogar ganz schnell durch ausmultiplizieren lösen.

07.09.2006, 17:47

zt

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nö

07.09.2006, 17:48

Louisa

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ja aber ich sollte ja die hochpunkte berechnen?
brauch ich dafür nicht eig die erste ableitung?

07.09.2006, 17:50

zt

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ich würde sagen: schon!

aber die Ableitung ist def. falsch.

07.09.2006, 17:50

zweiundvierzig

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Doch, aber dein Ergebnis war falsch. Du kannst den Term doch erstmal ausmultiplizieren und dann mittels der Potenzregel ableiten.

07.09.2006, 17:50

Louisa

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okay...aber wie mache ich das denn? ich weiß nicht wie das geht...

07.09.2006, 17:51

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} a(b+c)=ab+ac \end{eqnarray*}$

07.09.2006, 17:54

Louisa

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ja das hab ich ja, das wäre dann z(u)=4u-4u^2 ??

aber wie leite ich das dann ab?

07.09.2006, 17:55

zt

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das solltest du eigtl. wissen. stell' dir vor u entspricht dem x, dass du sonst immer ableitest.

edt.: sogar noch falsch ausmultipliziert..

07.09.2006, 17:55

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

07.09.2006, 17:57

Louisa

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ist das echt falsch? oh mann..ich kann das nicht..wie ist das denn richtig?

07.09.2006, 17:58

zt

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$\begin{eqnarray*} ..4u-u^{3} \end{eqnarray*}$ vielleicht?

07.09.2006, 17:58

zweiundvierzig

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Mein voriges Posting enthält die Potenzregel. Dieses prinzip musst Du auf Deine Aufgabe übertragen.

07.09.2006, 17:59

zt

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soweit sind wir doch noch garnicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2006, 18:00

zweiundvierzig

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Fürchte ich auch...

@Louisa: Wie leitest Du denn $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ab?

07.09.2006, 18:01

Louisa

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oah stimmt...oh ich bin so blöd..sry Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2006, 18:02

Louisa

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ja das ist denn f(x)=2x

also so'n bisschen was kann ich schon aber bin grad verwirrt von dieser aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2006, 18:03

zt

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weisst du denn wie du jetzt auf die Zielfkt. gekommen bist oder wollen wir das vorher nochmal klären?
Edit: Bin weg, Simpsons kuggn.

07.09.2006, 18:04

zweiundvierzig

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So, dann erstmal tief durchatmen und weiter gehts Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} z(u)=4u-4u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'(u) \end{eqnarray*}$ ist dann?

07.09.2006, 18:05

Louisa

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und dann ist z'(u)= -12u^2+ 4 ?

07.09.2006, 18:06

Louisa

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ja also ich hab schon mehr oder weniger verstanden wie ich auf die zielfunktion komme...

@Zahlentheorie : okay, denn viel spaß Augenzwinkern

Augenzwinkern

und danke

smile

07.09.2006, 18:08

zweiundvierzig

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Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ ? Und warum hat die Ableitungsfunktion den gleichen Grad wie die Ausgangsfunktion?

07.09.2006, 18:10

Louisa

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oh mann...stimmt..oh ich bin echt durcheinander grad...sry

z'(u)= -3u^2+4 oder?

07.09.2006, 18:16

Bjoern1982

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Leider nicht.

Wie biste denn darauf gekommen?

Gruß Björn

07.09.2006, 18:19

Louisa

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hm ich weiß nicht...ich dachte das kommt da raus wenn ich z(u)= 4u - u^3 ableite...

07.09.2006, 18:25

zweiundvierzig

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Wie kann denn die Funktion, die eine Fläche beschreibt eine Funktion dritten Gerades sein?

$\begin{eqnarray*} z(u)=4u-4u^2 \end{eqnarray*}$

07.09.2006, 18:27

Louisa

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ja hm..das weiß ich auch nicht...also stimmt das jetzt alles nicht?

07.09.2006, 18:28

zweiundvierzig

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Leider kann ich Dir nicht helfen, wenn Du Deine Ausgangsfunktion plötzlich einfach so änderst...

07.09.2006, 18:29

Louisa

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ich hab die doch gar nicht geändert?? meine ausgangsfunktion war doch y=4-x^2 ?

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