Quotientenraum

04.02.2009, 16:27

Hans123

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Quotientenraum

Hallo Leute

Ich arbeite gerade im quotientenraum und hab mal ne frage:
Wie sieht die null im quotientenraum aus? Vielleicht so? $\begin{eqnarray*} 0 + U \end{eqnarray*}$

Und wenn ich zeigen will, das a+U=b+U nur für a=b=0 gilt. Reicht es zu zeigen, dass a=b nur für a=b=0 gilt? (es gilt U=U)

danke
hans

04.02.2009, 16:33

Leopold

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Offenbar ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ Unterraum eines Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Und ja, dann ist $\begin{eqnarray*} 0+U \end{eqnarray*}$ die Null des Quotientenraumes $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} 0+U = U \end{eqnarray*}$ kannst du aber auch gleich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ dafür schreiben.

$\begin{eqnarray*} a+U = b+U \ \ \Leftrightarrow \ \ a=b=0 \end{eqnarray*}$

ist falsch

04.02.2009, 16:45

Hans123

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hmmm, wenn das falsch ist, wie soll ich eine aufgabe folgender art angehen?

Zeige: $\begin{eqnarray*} a+U=b+U \Rightarrow a=b=0 \end{eqnarray*}$

Klar, allgemein stimmt's nicht. Aber wenn man z.b. zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} \{a+U\} \cap \{b+U\} =0 \end{eqnarray*}$ dann läuft es auf so etwas hinaus.

04.02.2009, 20:08

Mathespezialschüler

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Wenn die Aufgabe so gestellt ist, dann ist das absoluter Mist. Zitiere deshalb bitte die komplette Aufgabenstellung wortwörtlich!

04.02.2009, 20:18

Hans123

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Aufgabe 1b)

http://img5.imageshack.us/img5/2955/mathdx1.jpg

Um die direkte summe zu zeigen, muss man doch auch $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 =0 \end{eqnarray*}$ zeigen?

04.02.2009, 20:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hans123
Aufgabe 1b)

http://img5.imageshack.us/img5/2955/mathdx1.jpg

Um die direkte summe zu zeigen, muss man doch auch $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 =0 \end{eqnarray*}$ zeigen?

Ja, das muss man wohl. Das entspricht aber nicht dem, was du oben geschrieben hast.

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04.02.2009, 20:55

Hans123

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Komisch. Ich habe drum folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \Rightarrow x \in U_1 \land x \ U_2 \Rightarrow (0,0,\alpha ,0) + U = (0,0,\alpha' , \alpha')+U \end{eqnarray*}$

und jetzt sollte doch irgendwie folgen: $\begin{eqnarray*} \alpha = \alpha' = 0 \end{eqnarray*}$ oder nicht?

04.02.2009, 21:07

WebFritzi

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Ja, das ist richtig. Das folgt auch. Aber nicht wegen dem von dir oben angegebenen (es ist ja falsch).

05.02.2009, 16:18

Hans123

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Und wie soll man diesen letzten schritt beweisen? Ist er klar oder braucht es noch einen zwischenschritt?

05.02.2009, 16:43

Mathespezialschüler

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Warum ist das klar? Das ist nicht einfach so klar, $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ ist für einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ doch eine Äquivalenzklasse und es gibt i.A. sehr viele verschiedene Vektoren $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v+U=w+U \end{eqnarray*}$ .

Um es zu zeigen, solltest du dir klar machen, was die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (0,0,\alpha,0)+U=(0,0,\alpha',\alpha')+U \end{eqnarray*}$

definitionsgemäß bedeutet.

05.02.2009, 17:37

Hans123

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Aha. Stimmt in dem Fall folgendes? (bezogen auf die Aufgabe):

$\begin{eqnarray*} (0,0,\alpha,0)+U=(0,0,\alpha',\alpha')+U \Rightarrow (0,0,\alpha,0) - (0,0,\alpha',\alpha') \in U \Rightarrow\alpha = \alpha' = 0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} U=(x,y,0,0) \end{eqnarray*}$

05.02.2009, 19:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Hans123
$\begin{eqnarray*} U=(x,y,0,0) \end{eqnarray*}$

Bis auf diese Gleichung, die natürlich Mist ist, stimmt es, ja.

05.02.2009, 19:57

Hans123

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Wunderbar, danke.
Wie sieht es eigentlich aus, wenn man die gleichheit zweier quotientenräume beweisen will? Kann man da auch auf dieses schöne lemma zurückgreifen, auch wenn es nur für einzelne nebenklassen gilt?
Ich denke da insbesondere an eine Anwendung für aufgabe a) (im obigen beispiel).

05.02.2009, 22:19

Mathespezialschüler

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Woher sollen wir wissen, was für ein Lemma du meinst?

06.02.2009, 11:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hans123
$\begin{eqnarray*} (0,0,\alpha,0)+U=(0,0,\alpha',\alpha')+U \Rightarrow (0,0,\alpha,0) - (0,0,\alpha',\alpha') \in U \Rightarrow\alpha = \alpha' = 0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} U=(x,y,0,0) \end{eqnarray*}$

Ich finde, den letzen Schritt solltest du noch ausführen. Es ist nicht klar, ob du da evtl. zu voreilig geschlossen hast.

06.02.2009, 17:40

Hans123

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Ich dachte der schritt sei klar, weil wir die letzten komponenten eines elementes aus U ja null sein müssen.

(Meine frage mit dem misteriösen lemma von vorhin hat sich übrigens geklärt.)

06.02.2009, 17:43

WebFritzi

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Bitte führe den Schritt doch einfach aus...

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