Homomorphiesatz - Grundlagen

07.09.2006, 17:11

Gerold

Homomorphiesatz - Grundlagen

Ich versuche gerade, den Homomorphiesatz zu verstehen. Aber ich glaube ich habe schon mit den Grundlagen Probleme:

In LAI haben wir ihn wie folgt aufgeschrieben:
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi:G \to H \end{eqnarray*}$ ein Epimorphismus. Dann sind die Gruppen $\begin{eqnarray*} G /_{kern \varphi} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ isomorph, ein Homomorphismus ist durch $\begin{eqnarray*} \overline{\varphi}:G/_{kern \varphi} \to H, kern \varphi \cdot g \mapsto \varphi(g) \end{eqnarray*}$ gegeben.

Meine Erste Unsicherheit wäre schon die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} G/_{kern \varphi} \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet doch: $\begin{eqnarray*} \{ g + kern \varphi | g \in G \} \end{eqnarray*}$ . Jetzt habe ich einen Beweis des Dimensionssatzes für lin. Abbildung mittels des Homomorphiesatzes gelesen. Da wird verwendet: $\begin{eqnarray*} dim(V/_{kern \varphi}) = dimV - dim(kern \varphi) \end{eqnarray*}$ . Vielleicht stehe ich da auf dem Schlauch, aber warum ist das so?

Und dann der Homomorphiesatz selbst. Wozu braucht man den in der Linearen Algebra? Selbst den Beweis des Dimensionssatzes habe ich aus dem Internet - nicht aus unserer Vorlesung.

Danke.

07.09.2006, 17:45

JochenX

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jetzt habe ich das Fenster weggeklickt, statt die ausführliche Antwort wegzuklicken unglücklich

darum noch mal in Kurzform:
wenn du Probs mit Faktorisierung hast, schau dir noch mal Grundlagen an, bevor du dich an spezielle Aufgaben wie diese wagst.

zur Dimension:
$\begin{eqnarray*} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray*}$ Basis von V
für ein m<=n bilden b1 bis bm Basis von U, dann:

$\begin{eqnarray*} \{b_{m+1}+U,....,b_n+U\} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis des Faktorraums.

07.09.2006, 19:56

Gerold

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Ja, ich glaube mein Problem liegt bei der Faktorisierung.

Die Elemente des Faktorraums $\begin{eqnarray*} V/_U \end{eqnarray*}$ sind also Mengen. Und eine Basis sind jene Unterräume U, welche quasi um $\begin{eqnarray*} b_i, m+1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ "verschoben" wurden. Aber dann ist doch der Nullvektor nicht mehr in den verschobenen Mengen enthalten. Also sind die Basisvektoren gar keine Vektorräume mehr?
Das neutrale Element wäre dann jedenfalls U.

Falls ich noch weit von der Wahrheit entfernt bin - du kennst nicht zufällig eine gute Quelle, wo die Grundlagen erläutert werden? Die Ausbeute bei Wikipedia ist etwas mager.

07.09.2006, 20:18

JochenX

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Zitat:

Original von Gerold
Die Elemente des Faktorraums $\begin{eqnarray*} V/_U \end{eqnarray*}$ sind also Mengen.

wenn du so willst, ich würde eher sagen, es sind die "Nebenklassen", bzw. es sind mengentechnisch gesehen die Äquivalenzklassen folgender Reation:
x~y <=> x-y ist in U

Zitat:

Und eine Basis sind jene Unterräume U, welche quasi um $\begin{eqnarray*} b_i, m+1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ "verschoben" wurden. Aber dann ist doch der Nullvektor nicht mehr in den verschobenen Mengen enthalten. Also sind die Basisvektoren gar keine Vektorräume mehr?
Das neutrale Element wäre dann jedenfalls U.

öhm GROßES nein.
der Unterraum U sollte natürlich FEST sein.

Wenn dich die Reihenfolge oben stört:
U hat als Unterraum eine Basis, ergänze DIESE Basis zu einer Basis von V, natürlich kannst du nicht zu jeder Basis von V eine Basis von U finden, die in der Gesamtbasis enthalten ist.

Zitat:

Falls ich noch weit von der Wahrheit entfernt bin - du kennst nicht zufällig eine gute Quelle, wo die Grundlagen erläutert werden? Die Ausbeute bei Wikipedia ist etwas mager.

Boardsuche!?

10.09.2006, 18:00

Gerold

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Wenn ich darf würde ich gerne noch eine dumme Frage stellen:

Also sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum von V. Die Äquivalenzrelation ist also durch v~w $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow v - w \in U \end{eqnarray*}$ definiert. Das heißt, in der Äquivalenzklasse von v liegen alle Elemente w aus V, für die $\begin{eqnarray*} v-w \in U \end{eqnarray*}$ gilt. Warum ist dann $\begin{eqnarray*} [v] = \{v + u | u \in U \} \end{eqnarray*}$ ? Müßte es nicht wegen $\begin{eqnarray*} v-w \in U \Leftrightarrow v-w = u \quad u \in U \Leftrightarrow w=v-u \quad u \in U \end{eqnarray*}$ heißen $\begin{eqnarray*} [v] = \{v - u | u \in U \} \end{eqnarray*}$ ?

10.09.2006, 23:19

Ben Sisko

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Wenn U Unterraum ist und $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} (-u) \in U \end{eqnarray*}$ .

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