Unendliche Vereinigung

04.02.2009, 18:59

physstud

Unendliche Vereinigung

Hallo zusammen,

ich habe mir gerade Gedanken zu einer im Skript von mir auftretenden Definition gemacht.

Wenn ich eine Menge E=[a,b] nehme (a<b) und einzelne E_i wie folgt definiere:

$\begin{eqnarray*} E_i=\Big[a+\sum\limits_{k=1}^{i-1} (b-a)\cdot\frac{k}{k+1},~a+\sum\limits_{k=1}^{i} (b-a)\cdot\frac{k}{k+1}\Big] \end{eqnarray*}$

- kann ich dann die Menge E als

$\begin{eqnarray*} E=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \end{eqnarray*}$

schreiben? Oder ist da der Wert von b nicht enthalten?
Das war so eine Beispielmenge, die ich mir gerade ausgedacht habe, um mir eine Definition vor Augen zu halten - die Menge ist also nicht von irgendwoher und ich kann nicht mehr Aussagen dazu machen Augenzwinkern

Leider kenne ich mich nicht so gut damit aus, deswegen frage ich jetzt einfach mal smile

Wäre diese Unterteilung theoretisch auch eine Topologie für die Menge [a,b]?

Danke schon mal für eure Antworten

04.02.2009, 19:33

physstud

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Anmerkung: Mit der angesprochenen Definition ist die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Kompaktheit von Mengen gemeint.
E wäre in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -kompakt, oder? (für $\begin{eqnarray*} E\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ natürlich)

04.02.2009, 19:36

Jacques

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Hallo,

Wenn ich es richtig sehe, liegen aber schon die ersten E_i außerhalb des Intervalls [a; b]!

$\begin{eqnarray*} E_2 = \left[a + \tfrac{1}{2}(b - a); a + \tfrac{7}{6}(b - a) \right] \end{eqnarray*}$

Die Folge der E_i wandert immer weiter nach „rechts“.

04.02.2009, 19:40

physstud

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Mist, funktioniert wohl nicht so wie gedacht.. ^^
Ich hatte mir darunter immer kleiner werdende Intervalle gedacht, irgendwo muss ich einen Denkfehler haben - welcher mir auch gerade wie Schuppen vor die Augen fällt.. Die Summe divergiert natürlich total, völliger Quatsch.
Würde das Ganze ohne Summe klappen?
Also praktisch als

$\begin{eqnarray*} E_i=\Big[a+(b-a)\cdot\frac{i-1}{i},~a+(b-a)\cdot\frac{i}{i+1}\Big] \end{eqnarray*}$

Hm, so hatte ich mir das glaub ich auch eigentlich gedacht... Hatte einen Denkfehler, der dann den Summenfehler ausgelöst hat *grins*

04.02.2009, 19:48

Jacques

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So ginge es, aber das b tritt in der Vereinigung aller E_i nicht auf. Das müsstest Du also noch dazuschreiben.

04.02.2009, 19:51

physstud

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Ok, das genau war mein Problem. Also $\begin{eqnarray*} E_\infty \end{eqnarray*}$ gibt es praktisch hierbei nicht? Man fügt ja bis ins Unendliche zusammen?
Und was wäre denn ein geeignetes Beispiel für eine kompakte Menge, die auch $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -kompakt ist - oder gibt es das nicht, müssen diese Mengen immer unendlich gross sein?

04.02.2009, 19:55

Jacques

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Die Intervalle kommen dem b nur unendlich nahe, erreichen es aber nicht. Es gibt kein Intervall, in dem b enthalten ist, denn i/(i + 1) wird niemals 1.

Also Du erhältst am Ende nur das Intervall [a; b[

// edit: Bei der kompakten Menge kann ich Dir leider nicht weiterhelfen.

04.02.2009, 19:57

physstud

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Okay, logisch.. Dann ist mein Beispiel also nicht $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -kompakt - es sei denn ich würde tatsächlich die Menge $\begin{eqnarray*} E=[a,b) \end{eqnarray*}$ nehmen, oder ist diese nicht erlaubt?

*edit* Ich glaube, diese Frage kann ich mir selber beantworten - E ist ja nicht kompakt an sich.. böse

Schade, hat vielleicht sonst irgendwer ein nicht-unendliches Beispiel? */edit*

05.02.2009, 15:37

physstud

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So wie ich das aus meinem Skript lese, wäre [a,b) wohl doch erlaubt, die Menge E muss wohl nicht selbst kompakt sein.
Kann mich nicht mal jemand über diesen Begriff $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -kompakt aufklären? Wink

Ein Beispiel wäre hilfreich, aber es geht auch theoretisch.
Ich finde nur einfach ziemlich wenig im Internet, was ich schlecht verstehe - Wikipedia hat leider auch keinen Eintrag dazu.

Generell scheint der Vorsatz " $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -" bei Begriffen die Vereinigung bzw. den Durchschnitt von unendlichen Mengen zu meinen oder?

07.02.2009, 20:33

physstud

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Schade, keiner eine Idee?

07.02.2009, 21:33

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Was erwartest du: Eine "Generalabsolution" für diese Vermutung: verwirrt

Zitat:

Original von physstud
Generell scheint der Vorsatz " $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -" bei Begriffen die Vereinigung bzw. den Durchschnitt von unendlichen Mengen zu meinen oder?

Die kann es nicht geben, das ist für jeden Begriff einzeln nachzulesen - sei es nun $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -kompakt, $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich, $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -additiv ...

Das kann dir hier keiner abnehmen.

08.02.2009, 02:33

physstud

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Nein, ich fragte nur nach einem Beispiel für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Kompaktheit.
Ist ein halboffenes Intervall wie oben beschriebenes E auch Kandidat für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Kompaktheit?

Ich kenne mich halt nicht allzu gut damit aus und wollte mir das Ganze verdeutlichen anhand eines Beispiels. Nur leider finde ich sehr wenig im Internet. unglücklich

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