Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen

05.02.2009, 17:49

butterfliege

Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen

Ich habe mal eine frage zum untersuchen der stetigkeit von mehrdimensionalen funktionen, wir haben da aufgaben zu bekommen und nun weiß ich nicht ganz wie ich da ran gehen soll.
Bei einfachen Funktionen überprüft man die stetigkeit in einem punkt x ja in dem man sich den links- u rechtsseitgen grenzwert in diesem punkt anguckt. und vergleicht mit dem grenzwert im besagten Punkt.sind alle gleich > funktion stetig.

Wie sieht das nun im mehrdimensionalen aus in einem Punkt (0,0)? Wie bzw was ist da mein links- u rechtsseitiger grenzwert??Wie untersuche ich das.
und ist die funktion in diesem punkt stetig, dann ist sie ja auch differenzierbar.

ich wäre froh über ein beispeil

z.b zu der funktion:

f(x,y) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\mid xy \mid} }{x²+y²} \end{eqnarray*}$

wenn (x,y) ungleich (0,0)

und =0 wenn (x,y)= (o,o)

05.02.2009, 18:03

tmo

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RE: Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen

Zitat:

Original von butterfliege
Wie sieht das nun im mehrdimensionalen aus in einem Punkt (0,0)? Wie bzw was ist da mein links- u rechtsseitiger grenzwert??Wie untersuche ich das.

Es gibt in diesem Fall keinen links- oder rechtsseitigen Grenzwert. Es ist einfach zu untersuchen, ob der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Hier müsste also

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to 0} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten.

05.02.2009, 18:14

butterfliege

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RE: Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen
nehme ich dann einmal (x,0) und einmal (0,y) oder gleich (0,0)?

bei meinem beispiel wäre ja dann lim f(x,y)=0. das kommt mir irgendwie zu kurz und zu einfach vor.

in der vorlesung hatten wir nur kurz ein bsp

f(x,y) = $\begin{eqnarray*} \frac{2xy²}{x²+y^4} \end{eqnarray*}$ wenn (x,y) ungleich 0

und 0 wenn (x,y) }=0

und da ist es für (x,0) und (0,y) =0

aber dann zauberte er ein f(t²,t) her, und in diesem punkt ist die funtkion dann gleich 1 für alle t ungleich 0

und sagte, dass due funktion also in (0,0) unstetig ist. warum?

05.02.2009, 18:27

tmo

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Wie ist denn der Grenzwert bei mehrdimensionalen Funktionen definiert? Das musst du schon wissen. Sonst macht das ganze ja keinen Sinn.

05.02.2009, 18:38

butterfliege

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naja lim $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} (f(\vec{x} + h\vec{ej}) - f(\vec{x} )) \end{eqnarray*}$
hgegen0

und bezogen auf richtungsableitung eben statt dem einheitvektor ej eben den richtungsvektor v

05.02.2009, 18:40

tmo

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Von der Ableitung habe ich doch gar nicht geredet.

Es geht nur um den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) \end{eqnarray*}$

05.02.2009, 18:53

butterfliege

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mhm also wir haben bei den mehrdimensionalen funktionen den grenzwert nur bzgl der ableitung besprochen. meinst du

lim $\begin{eqnarray*} \frac{f(x,y) - f(x0,y0)}{(x,y)- (x0,y0)} \end{eqnarray*}$ ?? sonst weiß ich leider nicht, was du meinst.... ahhh

05.02.2009, 18:54

tmo

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Dann schau noch mal in deinem Script nach. Zumindest die Stetigkeit muss da doch irgendwie definiert sein.

05.02.2009, 19:04

butterfliege

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also die stetigkeit ansich hatten wir nur für eindimensionale funktioen definiert
aber wenn ich das jetzt mal übertrage dann meinst du

f in (x0,y0) stetig, falls $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (x0,y0)} f(x,y) \end{eqnarray*}$ = f (x0,y0)

ist.

und jetzt machts glaub ich klick bei mir.

also wenn bei meiner funktion $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\mid xy \mid} }{x²+y²} \end{eqnarray*}$ (0,0) einsetzte und 0 heraus kommt ist, sie stetig weil ja sie ja im punkt (0,0) definiert ist als 0.

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