Topologische Aufgabe

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WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
Topologische Aufgabe
Dies ist eigentlich ein Rätsel (dazu noch ein recht einfaches Augenzwinkern ), aber da es rein mathematischer Natur ist, wollte ich es nicht in das Rätsel-Forum stellen.

Man gebe eine Menge in IR² an, deren Rand genau aus zwei Punkten besteht. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

?! verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Augenzwinkern

Oder allgemein IR²\{a,b} mit a,b aus IR².

Noch ein Beispiel?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge mit genau zwei Punkten a und b.

Grüße Abakus smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Gibt es andere Mengen?
JustPassingBy Auf diesen Beitrag antworten »

eine offene Menge ohne zwei Punkte im Inneren
eine offene Menge plus zwei Randpunkten.

und dann halt noch kombinationen aus allen vorher genannten dingen, z.b. eine offene Menge plus einem Randpunkt und dazu noch ein isolierter Punkt
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JustPassingBy
eine offene Menge ohne zwei Punkte im Inneren

Das stimmt aber nicht. Wenn du z.B. die offene Kreisscheibe hast und zwei beliebige Punkte im Innern herausnimmst, dann besteht der Rand der entstandenen Menge aus diesen beiden Punkten und dem Randkreis.

Dein zweites Beispiel dürfte auch nicht klappen. Auch wenn die anderen Randpunkte nicht in der Menge liegen, liegen sie natürlich trotzdem im Rand. verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
OK. Gibt es andere Mengen?


Eher nicht, meine Idee dazu ist:

Angenommen wir hätten eine solche Menge Z. Sie müsste mindestens einen dritten, weiteren Punkt c enthalten. Da c kein Randpunkt ist, existiert eine Epsilon-Kugel um c, die ganz in der betrachteten Menge Z liegen muss.

Ferner müsste Z mindestens einen Punkt d nicht enthalten, der auch kein Randpunkt sein kann. Um diesen Punkt existiert eine Kugel, in der kein weiter Punkt der betrachteten Menge Z liegen darf.

Jetzt verbinde c und d und betrachte die Punkte auf der entstehenden Strecke. Mindestens einer muss Randpunkt von Z sein. Ist es a oder b, so betrachte weitere solcher Strecken (durch Auswahl eines anderen Endpunktes in einer der jeweiligen Kugeln), bis a und b da nicht mehr draufliegen. Widerspruch.

Grüße Abakus smile
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