Beweis mit vollst. Induktion (Determinante)

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congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit vollst. Induktion (Determinante)
Es geht um folgende Aufgabe:

Es sei A eine (n,n,)-Matrix mit:
.

Aufgabe:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass gilt:
.

------------------------

Ok, hab mit Induktionsanfang n=1 angefangen:


Dann Induktionsschluss für (n+1):



Nun ziehe ich von jeder Zeile die letzte ab und erhalte:


Nun rechne ich ( Zeile n+1) + (Zeile (1 bis n) -a) und komme auf:


Multipliziere ich die Diagonale der Dreiecksmatrix aus, komme ich auf:


Wo liegt der Fehler?

Vielen Dank schonmal im Voraus.
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

kleine Verbesserung:
im Induktionsanfang heißt es natürlich

 
 
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Kann niemand ein kurzes Statement dazu abgeben?

Ist irgendwas unklar? Oder habe ich alles richtig gemacht und die Aufgabe ist falsch gestellt? (Solls ja auch geben, das Profs Fehler machen smile )
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi congo.hoango

Zitat:
Nun rechne ich ( Zeile n+1) + (Zeile (1 bis n) -a) und komme auf:

Da ist der Fehler, Du kannst nicht einfach überall a abziehen, das verändert die Determinante. Außerdem sollst Du die Aufgabe ja per Induktion lösen.

Versuche doch mal die zweite Spalte von der ersten abzuziehen und dann nach der ersten Spalte zu entwickeln, dann kannst Du auch die IV verwenden. Allerdings läuft das auch nicht so glatt über die Bühne oder ich übersehe hier was.
In meinen Augen wäre es vielleicht sogar weniger problematisch, die Aussage für verschiedene a zu beweisen, d.h. auf der Diagonale stehen Einträge und dann ist die Aufgabe hier nur noch der Spezialfall

Nur so eine Idee...

Gruß,
Reksilat.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von congo.hoango
Nun rechne ich ( Zeile n+1) + (Zeile (1 bis n) -a) und komme auf:

Du darfst doch nicht einfach abziehen, wenn dann müsstest du es schon von de ganzen Zeile abziehen. Addiere dann lieber nach deinen ersten Schritten zu der letzten Spalte die anderen Spalten hinzu.

Du solltest übrigens auch nicht mit der Behauptung anfangen, sondern den Term solange umformen, bis du bei der Behauptung angelangt bist. Und übrigens hat dein Weg bis jetzt wenig mit einer Induktion zu tun.
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Antworten.

Stimmt, bei a ist der Fehler. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ^^ Danke

Wieso soll ich nich mit der Behauptung anfangen? Das hab ich so in der Schulzeit gelernt und auch an der Uni bisher immer so gemacht...

Das ist keine Induktion was ich da mache? Scheiße smile Wie beweist man denn sowas mit Induktion? Was muss ich anders machen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Ihr das an der Uni so macht, so muss ich Dir leider raten sofort die Uni zu wechseln, denn das sollte den angehenden Studenten eigentlich als erstes ausgetrieben werden:
Fange niemals mit der Behauptung an. Entweder beginnt man mit einer wahren Aussage oder man formt die eine Seite der Behauptung um, bis man die andere Seite erhält. Das zweite Vorgehen wäre hier angebracht.

Der Grund ist ganz einfach, dass ich aus einer falschen Behauptung so ziemlich alles folgern kann. Beispiel:
Behauptung:
5=7
Beweis:
5=7 |*0
0=0 w.A.

Durchweg logisch, ich habe aus einer falschen Aussage etwas wahres gefolgert. Den Rückweg kann ich aber nicht mehr gehen.

Zur Induktion: Du musst hier aus der Gültigkeit der Formel für eine nxn-Matrix auf die Gültigkeit für (n+1)x(n+1)-Matrizen schließen. Was bei Dir fehlt, ist die Induktionsvoraussetzung.
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann haben wir es so wahrscheinlich da nicht direkt vorgeführt bekommen, aber bemängelt wurde es auch nicht...

Habs nun übrigens...einfach von der letzten Zeile das -fache der anderen Zeilen abziehen dann stimmts.

Also nochmal danke an euch!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von congo.hoango
einfach von der letzten Zeile das -fache der anderen Zeilen abziehen dann stimmts.

Hmm, falls du von der Ausgangsmatrix redest:

Wohl eher das -fache der anderen Zeilen abziehen...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dass er einen späteren Schritt meint:

Klappt auch gut, aber es besteht immer noch das Problem, dass dies kein Beweis per Induktion ist, denn die Induktionsvoraussetzung wird hier nirgends verwendet.

Manchmal wird eben gefordert, dass man genau diese Beweismethode verwendet - selbst wenn's anders leichter ist.
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab sowas noch nie mit vollständiger Induktion bewiesen, tu mich deshalb n bisschen schwer damit.

Aber für die Induktionsvorraussetzung müsste ich doch nur hinschreiben

A(n,n)=

Oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Und im Beweis für die Determinante von A(n+1,n+1) muss dies dann irgendwo genutzt werden.
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