basis der leeren menge?

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LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »
basis der leeren menge?
hey, hab mal ne ganz doofe frage, aber irgendwie find ich nix im internet:
wir sollen basen von unterräumen bestimmen, diese unterräume werden als linearen hüllen dargestellt. jetzt gibt es aber ein aufgaben teil bei dem der unterraum leer ist, also U={ }
kann man dazu eine basis bilden`?
eigentlich gibt es doch keine basis zur leeren menge, bzw die basis wäre selbst die leere menge,
wäre das korrekt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen leeren Unterraum. Schaue dir die Definition von Unterraum nochmal genau an
 
 
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

okay, sorry, hab die aufg. extrem abgekürzt, also es sind unterräume gegeben,
U1=span{(1,0,0,3),(0,1,2,0)}
U2=span{(2,3,3,2),(1,-1,-1,1)}
U3=span{(1,1,1,0)}

so, nun bestimmt man erst: (U1+U3) "geschnitten" U2 und davon soll man die Basis bestimmen
wäre ja doch dann die leere Menge, oder?? und die basis der leeren menge?
oder darf man U1+U3 nicht als vereinigt lesen?
physstud Auf diesen Beitrag antworten »

Generell ist die Basis einer leeren Menge als Vektorraum der 0-Vektor. Einen echten Untervektorraum gibts demnach natürlich nicht Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn das Erzeugnis der leeren Menge?

Nun, es ist gerade der Schnitt über alle Unterräume, die als Teilmenge enthalten, also über alle Unterräume des ganzen VR. Nun ist aber ein Unterraum (nachrechnen!) und er ist auch in allen enthalten und somit folgt:


Die leere Menge ist also eine Basis des Nullraumes (minimales Erzeugendensystem).

Der Schnitt zweier Unterräume enthält immer den Nullvektor, kann also nie die leere Menge sein.


Weiterhin:
Die Summe ist der kleinste Unterraum, der sowohl als auch enthält.


Lässt sich schon mit dem Dimensionssatz schnell erkennen.

Ciao,
Reksilat
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von physstud
Generell ist die Basis einer leeren Menge als Vektorraum der 0-Vektor.


Weder ist die leere Menge ein Vektorraum, noch kann der Nullvektor ein Basiselement von irgendeinem Vektorraum sein. Also gleich 2 falsche Aussagen in einer. Augenzwinkern
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von physstud
Generell ist die Basis einer leeren Menge als Vektorraum der 0-Vektor. Einen echten Untervektorraum gibts demnach natürlich nicht Augenzwinkern

Die Basis des Nullraums ist die leere Menge, so rum.

Meiner Meinung nach ist der span{} = {0}
Ich stell mir nämlich Folgendes vor:
2 lin. unabh. Vektoren spannen einen Raum der Dimension 2 auf.
Wie viele Vektoren spannen also einen Raum der Dimension 0, also den Nullraum, auf? ... richtig, 0 Vektoren, deswegen leere Menge.

Verbesserungsvorschläge erwünscht, denn es könnte sein, dass ich völligen Schwachsinn fabriziert habe.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Lies Dir doch einfach die restlichen Beiträge durch, dann siehst Du, dass ich das bereits geschrieben habe.
Zitat:
Reksilat hat geschrieben:
Die leere Menge ist also eine Basis des Nullraumes

Es ist per Definition

der Durchschnitt über alle Unterräume, die M enthalten. Die leere Menge spannt dann den Nullraum auf.
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